《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

例 2 当 $ m $ 为何值时, $ y = (m + 1) \cdot x^{m^2 - 3m - 2} + 3x - 2 $ 是二次函数？
【点拨】形如 $ y = ax^2 + bx + c $($ a $,$ b $,$ c $ 为常数,且 $ a \neq 0 $)的函数是二次函数,找准二次项、一次项、常数项是关键.

答案： $ m = 4 $

1. 下列选项中,不是二次函数的是(C)
A.$ y = 3x^2 + 4 $
B.$ y = -\frac{1}{3}x^2 $
C.$ y = \sqrt{x^2 - 5} $
D.$ y = (x + 1)(x - 2) $

答案： C

2. 半径为 3 的圆,若半径增加 $ 2x $,则面积 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为(D)
A.$ S = 2\pi(x + 3)^2 $
B.$ S = 9\pi + x $
C.$ S = 4\pi x^2 + 12x + 9 $
D.$ S = 4\pi x^2 + 12\pi x + 9\pi $

答案： D

3. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx - 1 $($ a \neq 0 $)的图象经过点 $ (1, 1) $,则代数式 $ 1 - a - b $ 的值为(B)
A.-3
B.-1
C.2
D.5

答案： B

4. 二次函数 $ y = (3x + 2)^2 - x^2 $ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为8,12,4.

答案： 8,12,4

5. 若 $ y = (m + 2)x^{|m|} - 3x + 1 $ 是二次函数,则 $ m $ 的值为2.

答案： 2

6. 如图,用长 30 m 的篱笆围了一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园 $ ABCD $. 设 $ AB $ 边为 $ x $ m,求这个矩形菜园 $ ABCD $ 的面积 $ y $($ m^2 $)与 $ x $(m)之间的函数关系式(写出自变量 $ x $ 的取值范围).

答案： 解:由题意得AD=BC=$\frac{1}{2}$(30 - x)m,则y = $\frac{1}{2}$(30 - x)x = -$\frac{1}{2}$x² + 15x(0 ＜ x ＜ 30).

7. 设函数 $ y = (m^2 - m)x^2 + (m - 1)x + m + 1 $.
(1)若这个函数是一次函数,求 $ m $ 的值；
(2)若这个函数是二次函数,求 $ m $ 满足的条件.

答案： 解:
(1)当{m² - m = 0,m - 1 ≠ 0}时,这个函数是一次函数.解得m = 0.
(2)当m² - m ≠ 0时,这个函数是二次函数.解得m ≠ 0,且m ≠ 1.