《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

例2 如图,在平面直角坐标系中,直线$y = -x绕点O顺时针旋转90^{\circ}得到直线l$. 直线$l与反比例函数y = \frac{k}{x}的图象的一个交点为A(a, 3)$,试确定这个反比例函数的表达式.

【点拨】根据直线$y = -x绕点O顺时针旋转90^{\circ}得到直线l$,求出直线$l$的表达式. 把$A点的坐标代入直线l的表达式可求出a$的值,从而求出反比例函数的表达式.

答案： 由题意得直线$l$的表达式为$y = x$。
$\because$点$A(a, 3)$在直线$y = x$上，
$\therefore a = 3$，即$A(3, 3)$。
又$\because$点$A(3, 3)$在$y = \frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore 3 = \frac{k}{3}$，解得$k = 9$。
$\therefore$反比例函数的表达式为$y = \frac{9}{x}$。

例3 如图,$\triangle ABC是边长为2\sqrt{3}$的等边三角形,点$E$,$F分别在线段CB和线段BC$的延长线上,$\angle EAF = 120^{\circ}$. 设$BE = x$,$CF = y$. 求$y与x$之间的函数关系式,并写出自变量$x$的取值范围.

【点拨】由已知可推出$\angle E = \angle CAF$,再根据外角的性质可得$\angle EBA = \angle ACF$,从而可判定$\triangle EBA \backsim \triangle ACF$,然后根据相似三角形的对应边成比例即可表示出$x与y$的关系.

答案：

【解】$\because \angle EAF = 120^{\circ}$,$\angle BAC = 60^{\circ}$,

$\therefore \angle EAB + \angle CAF = 60^{\circ}$.

$\because \angle EAB + \angle E = \angle ABC = 60^{\circ}$,

$\therefore \angle E = \angle CAF$.

$\because \angle EBA = \angle ACF = 120^{\circ}$,

$\therefore \triangle EBA \backsim \triangle ACF$,

$\therefore EB:AC = BA:CF$,

$\therefore x:2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}:y$,

$\therefore y = \frac{12}{x}$(自变量$x的取值范围为x ＞ 0$).

1. 下列函数中,其图象经过点$(1, -1)$的是(B)
A.$y = \frac{1}{x}$
B.$y = -\frac{1}{x}$
C.$y = \frac{2}{x}$
D.$y = -\frac{2}{x}$

答案： B

2. 若点$A(m - 1, -4)$,$B(-2, m)$在同一个反比例函数的图象上,则$m$的值为(C)
A.6
B.-6
C.2
D.-2

答案： C

3. 若函数$y = (m + 2)x^{|m| - 3}$是反比例函数,则$m$的值为(A)
A.2
B.-2
C.$\pm 2$
D.不为2的实数

答案： A