《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

1. 若某二次函数的图象经过点 $ (-1,-5) $,$ (0 , - 4) $ 和 $ (1,1) $,则该二次函数的表达式为(D)
A.$ y = - 6x^{2}+3x + 4 $
B.$ y = - 2x^{2}+3x - 4 $
C.$ y = x^{2}+2x - 4 $
D.$ y = 2x^{2}+3x - 4 $

答案： D

2. 已知抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 过 $ (1,-1) $,$ (2,-4) $ 和 $ (0,4) $ 三点,那么 $ a,b,c $ 的值分别是(D)
A.$ a = - 1,b = - 6,c = 4 $
B.$ a = 1,b = - 6,c = - 4 $
C.$ a = - 1,b = - 6,c = - 4 $
D.$ a = 1,b = - 6,c = 4 $

答案： D

3. 某二次函数的图象与 $ x $ 轴交点的横坐标为 $ - 2 $ 和 $ 1 $,且过点 $ (2,8) $,则该二次函数的表达式为(D)
A.$ y = 2x^{2}-2x - 4 $
B.$ y = - 2x^{2}+2x - 4 $
C.$ y = x^{2}+x - 2 $
D.$ y = 2x^{2}+2x - 4 $

答案： D

4. 某二次函数的图象过点 $ A(2,0) $,$ B(-1,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,且 $ OC = 2 $,则该函数的表达式为(C)
A.$ y = x^{2}-x - 2 $
B.$ y = - x^{2}+x + 2 $
C.$ y = x^{2}-x - 2 $ 或 $ y = - x^{2}+x + 2 $
D.$ y = - x^{2}-x - 2 $ 或 $ y = x^{2}+x + 2 $

答案： C

例 1 已知某二次函数的图象经过 $ A(0,-1) $,$ B(1,-3) $,$ C(-1,3) $ 三点。
(1) 求这个二次函数的表达式；
(2) 求该图象的顶点坐标。
【点拨】(1) 先设这个函数的表达式为 $ y = ax^{2}+bx + c $,然后把点 $ A,B,C $ 的坐标代入得到关于 $ a,b,c $ 的方程组,再解这个方程组求出 $ a,b,c $ 的值即可得到这个函数的表达式。
(2) 利用配方法把一般式化为顶点式即可求得顶点坐标。

答案：
(1) 设二次函数表达式为 $ y = ax^{2} + bx + c $。
代入点 $ A(0, -1) $:
$ c = -1 $。
代入点 $ B(1, -3) $:
$ a + b + c = -3 $。
代入点 $ C(-1, 3) $:
$ a - b + c = 3 $。
解方程组:
$ \begin{cases} c = -1, \\ a + b - 1 = -3, \\ a - b - 1 = 3. \end{cases} $
化简得:
$ \begin{cases} a + b = -2, \\ a - b = 4. \end{cases} $
解得:
$ a = 1, b = -3, c = -1 $。
所求表达式为 $ y = x^{2} - 3x - 1 $。
(2) 将 $ y = x^{2} - 3x - 1 $ 配方:
$ y = (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{13}{4} $。
顶点坐标为 $ (\frac{3}{2}, -\frac{13}{4}) $。