《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

例2 如图,已知一铁路路基的横断面为等腰梯形 $ ABCD $,其中路基的顶宽(即等腰梯形 $ ABCD $ 的上底长)为 $ 10\,m $,路基的坡度 $ i = 1:1 $,等腰梯形 $ ABCD $ 的高为 $ 6\,m $,求路基的底宽和坡角。

- 【点拨】 过 $ D $ 点作等腰梯形 $ ABCD $ 的高,坡度表示的就是 $ DE $ 与 $ AE $ 的比值,据此求出 $ AE $,同理求出 $ BF $,可得到路基的底宽。利用等腰直角三角形的性质,求出坡角。

答案：
过点D，C分别作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E，F。

依题意，DC=EF=10m，DE=6m。
∵坡度i=1:1，即DE:AE=1:1，
∴AE=DE=6m，同理BF=CF=6m。
在Rt△ADE中，tan∠A=DE/AE=1，
∴∠A=45°。
AB=AE+EF+FB=6+10+6=22(m)。
路基的底宽为22m，坡角为45°。

例3 如图,已知一座大坝的横断面是梯形 $ ABCD $,坝顶宽 $ CD = 3\,m $,坝高 $ 4\,m $,背水坡 $ AD $ 的坡度是 $ 1:1.5 $,迎水坡 $ BC $ 的坡度是 $ 1:2.5 $,求坝底宽 $ AB $。

- 【点拨】 过点 $ D $ 作 $ DE \perp AB $ 于点 $ E $,过点 $ C $ 作 $ CF \perp AB $ 于点 $ F $。在 $ Rt\triangle ADE $ 中求出 $ AE $,在 $ Rt\triangle CFB $ 中求出 $ BF $,从而可求出 $ AB $。

答案：
过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F。

依题意，DE=CF=4m，EF=CD=3m。
在 Rt△ADE 中，DE:AE=1:1.5，DE=4m，
∴AE=4×1.5=6m。
在 Rt△CFB 中，CF:BF=1:2.5，CF=4m，
∴BF=4×2.5=10m。
∴AB=AE+EF+BF=6+3+10=19m。
坝底宽 AB 为 19m。