《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

22. (10 分)如图,已知直线 $y = k_1x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k_2}{x}(x ＞ 0)$ 的图象交于 $A(1,6)$,$B(a,3)$ 两点.
(1)求 $k_1$,$k_2$ 的值；
(2)直接写出 $k_1x + b - \frac{k_2}{x} ＞ 0$ 时 $x$ 的取值范围；
(3)在等腰梯形 $OBCD$ 中,$BC // OD$,边 $OD$ 在 $x$ 轴上,$OB = CD$,过点 $C$ 作 $CE \perp OD$ 于点 $E$,$CE$ 和该反比例函数的图象交于点 $P$. 当梯形 $OBCD$ 的面积为 12 时,请判断 $PC$ 和 $PE$ 的大小关系,并说明理由.

答案： 解:
(1)由题意得$k_2=1×6=6$,
∴该反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$.又
∵B(a,3)在$y=\frac{6}{x}$的图象上,
∴a=2,
∴点B的坐标为(2,3).
∵直线$y=k_1x+b$过点A(1,6),B(2,3),
∴$\begin{cases}k_1+b=6, \\2k_1+b=3. \end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-3, \\b=9. \end{cases}$
(2)x的取值范围为1＜x＜2.
(3)PC=PE.理由如下:设点P的坐标为(m,n).
∵BC//OD,CE⊥OD,BO=CD,B(2,3),
∴C(m,3),CE=3,BC=m - 2,OD=m + 2,
∴梯形OBCD的面积为$\frac{m - 2+m + 2}{2}×3=12$,
∴m=4.又
∵mn=6,
∴$n=\frac{3}{2}$,即$PE=\frac{1}{2}CE$.
∴PC=PE.