《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

3. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ CD $ 是斜边 $ AB $ 上的高. 若 $ \angle ACD $ 的正弦值是 $ \frac{2}{3} $,则 $ \frac{AC}{AB} = $(D)
A.$ \frac{2}{5} $
B.$ \frac{3}{5} $
C.$ \frac{\sqrt{5}}{2} $
D.$ \frac{2}{3} $

答案： D

4. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \sin A = \frac{2}{3} $,则 $ \cos A = $$\frac{\sqrt{5}}{3}$.

答案： $\frac{\sqrt{5}}{3}$

5. 如图,在 $ 5 × 4 $ 的正方形网格中,每个小正方形的边长都是 $ 1 $. 已知 $ \triangle ABC $ 的顶点都在这些小正方形的顶点上,则 $ \sin \angle BAC $ 的值为$\frac{4}{5}$.
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答案： $\frac{4}{5}$

6. 如图,在平面直角坐标系内,$ O $ 为坐标原点,点 $ A $ 的坐标为 $ (10,0) $,点 $ B $ 在第一象限内,$ BO = 5 $,$ \sin \angle BOA = \frac{3}{5} $.
(1) 求点 $ B $ 的坐标；
(2) 求 $ \cos \angle BAO $ 的值.
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答案：
解:
(1)如图,作$BH\perp OA$,垂足为H.

在$Rt\triangle OHB$中,$\because BO=5$,$\sin\angle BOA=\frac{3}{5}$,
$\therefore BH=3$,$\therefore OH=4$,$\therefore$点B的坐标为$(4,3)$.
(2)$\because OA=10$,$OH=4$,$\therefore AH=6$.
在$Rt\triangle AHB$中,$\because BH=3$,$\therefore AB=3\sqrt{5}$.
$\therefore \cos\angle BAO=\frac{AH}{AB}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

7. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,点 $ D $ 在边 $ BC $ 上,$ AD = BD = 5 $,$ \sin \angle ADC = \frac{4}{5} $,求 $ \cos \angle ABC $ 的值.
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答案： 解:在$Rt\triangle ADC$中,$\angle C=90°$.
由$\sin\angle ADC=\frac{AC}{AD}=\frac{4}{5}$,$AD=5$,解得$AC=4$.
由勾股定理,得$CD=3$,
$\therefore BC=CD+DB=3+5=8$.
在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90°$.
由勾股定理,得$AB=4\sqrt{5}$.
$\therefore \cos\angle ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

8. 如图,在正方形 $ ABCD $ 中,$ M $ 为边 $ AD $ 的中点,$ E $ 为边 $ AB $ 上的一点,且 $ BE = 3AE $,求 $ \sin \angle ECM $ 的值.
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答案： 解:设$AE=x$,则$BE=3x$,$BC=4x$,$AM=2x$,
$CD=4x$,$\therefore EC=5x$,$EM=\sqrt{5}x$,$CM=2\sqrt{5}x$.
$\therefore EM^2+CM^2=CE^2$.
$\therefore \triangle CEM$是直角三角形.
$\therefore \sin\angle ECM=\frac{EM}{EC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.