《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

例2 如图,在菱形 $ ABCD $ 中,$ AE \perp BC $ 于点 $ E $,$ EC = 1 $,$ \cos B = \frac{5}{13} $,求该菱形的面积.

【点拨】利用 $ \cos B $ 找到 $ BE $,$ AB $ 之间的关系,同时利用菱形的性质找到 $ AB $ 与 $ BE $ 的第二个关系,二者结合求所需的线段长度.

答案： 设菱形$ABCD$的边长为$x$，则$BC = AB = x$。
因为$EC = 1$，所以$BE = BC - EC = x - 1$。
在$Rt\triangle ABE$中，$\cos B=\frac{BE}{AB}=\frac{5}{13}$，即$\frac{x - 1}{x}=\frac{5}{13}$。
解得$13(x - 1)=5x$，$13x-13 = 5x$，$8x=13$，$x=\frac{13}{8}$。
所以$BE=\frac{13}{8}-1=\frac{5}{8}$。
由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{(\frac{13}{8})^{2}-(\frac{5}{8})^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}-\frac{25}{64}}=\sqrt{\frac{144}{64}}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。
故菱形面积$S = BC× AE=\frac{13}{8}×\frac{3}{2}=\frac{39}{16}$。
$\frac{39}{16}$

例3 如图,已知 $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线,$ \tan B = \frac{1}{3} $,$ \cos C = \frac{\sqrt{2}}{2} $,$ AC = \sqrt{2} $.

(1) 求 $ BC $ 的长；
(2) 求 $ \sin \angle ADC $ 的值.
【点拨】过点 $ A $ 作 $ AE \perp BC $ 于点 $ E $,分别求出 $ CE $,$ AE $,再根据 $ \tan B = \frac{1}{3} $ 求出 $ BE $,从而求出 $ BC $ 的长；根据题意求出 $ AD $,从而得到 $ \sin \angle ADC $ 的值.

答案：
(1)
过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$。
因为$\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$AC = \sqrt{2}$，在$Rt\triangle AEC$中，$\cos C=\frac{CE}{AC}$，所以$CE = AC×\cos C=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，$AE=\sqrt{AC^{2}-CE^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}} = 1$。
在$Rt\triangle ABE$中，$\tan B=\frac{AE}{BE}=\frac{1}{3}$，$AE = 1$，所以$BE = 3$，$BC=BE + CE=4$。
(2)
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$CD=\frac{1}{2}BC = 2$，$DE=CD - CE=1$。
因为$AE\perp BC$，$DE = AE = 1$，所以$\angle ADE = 45^{\circ}$，$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{2}$。
$\sin\angle ADC=\frac{AE}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
综上，$BC$的长为$4$，$\sin\angle ADC$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

1. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $. 已知 $ a $,$ \angle A $,则 $ c = $(D)
A.$ a\tan A $
B.$ a\sin A $
C.$ \frac{a}{\cos A} $
D.$ \frac{a}{\sin A} $

答案： D

2. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,斜边 $ AB $ 是直角边 $ AC $ 的 $ 3 $ 倍. 下列式子正确的是(D)
A.$ \sin A = \frac{3\sqrt{2}}{4} $
B.$ \cos B = \frac{1}{3} $
C.$ \tan A = \frac{\sqrt{2}}{4} $
D.$ \tan B = \frac{\sqrt{2}}{4} $

答案： D