《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

7. 用长为 $ 6 $ m 的铝合金条制成如图所示的窗框,设窗框的高为 $ x $ m,窗户的透光面积为 $ S $ m^2(铝合金条的宽度忽略不计).
(1)求 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2)如何安排窗框的高和宽,才能使窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

答案： 解:
(1)根据题意，得窗框的高为x m，则窗框的宽为$\frac {1}{2}(6-3x)m$.$\therefore S=\frac {1}{2}(6-3x)\cdot x=-\frac {3}{2}x^{2}+3x$.$\because x＞0,6-3x＞0,\therefore 0＜x＜2$.$\therefore S=-\frac {3}{2}x^{2}+3x(0＜x＜2)$.
(2)$S=-\frac {3}{2}x^{2}+3x=-\frac {3}{2}(x-1)^{2}+\frac {3}{2}$.$\because -\frac {3}{2}＜0$，
∴当$x=1$时，S有最大值，最大值为1.5.
∴窗框的高为1 m，宽为1.5 m，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是$1.5m^{2}$.

8. 某校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形状. 已知抽屉底面周长为 $ 180 $ cm,高为 $ 20 $ cm. 那么,当底面的宽 $ x $(cm)为何值时,抽屉的容积 $ y $(cm^3)最大？最大为多少？(材质及其厚度等忽略不计)

答案： 解:根据题意，得$y=20x(\frac {180-x}{2})$.整理，得$y=-20x^{2}+1800x=-20(x^{2}-90x+2025)+40500=-20(x-45)^{2}+40500$.$\because -20＜0$，
∴当$x=45$时，函数y有最大值，$y_{最大}=40500$.
∴当底面的宽为45 cm时，抽屉的容积最大，最大为$40500cm^{3}$.

9. 我们曾经探究过“设计制作长方体形状的包装纸盒”,今天我们继续运用所学知识,解决“设计制作长方体形状的包装纸盒”中常见的问题. 图 1 是一块边长为 $ 60 $ cm 的正方形薄铁片,现在用它来制作如图 2 所示的一个长方体盒子.
(1)如果要做成一个没有盖的长方体盒子,可先在薄铁片的四个角上截去四个边长为 $ x $ cm 的小正方形,然后把四边折合起来.
①求做成的盒子的底面积 $ y $(cm^2)与截去小正方形边长 $ x $(cm)之间的函数关系式；
②当做成的盒子的底面积为 $ 900 $ cm^2 时,试求该盒子的容积.
(2)如果要做成一个有盖的长方体盒子,其制作方案要求同时符合下列两个条件：
①必须在薄铁片的四个角上各截去一个四边形(其余部分不能裁截)；
②折合后薄铁片既无空隙又不重叠地围成各盒面,请你画出符合上述制作方案的一种草图(不必说明画法与根据),并求底面积为 $ 800 $ cm^2 时,该盒子的高.

答案：
解:
(1)①由题意可得$y=(60-2x)(60-2x)=4x^{2}-240x+3600$.因此，做成的盒子的底面积$y(cm^{2})$与截去小正方形边长x(cm)之间的函数关系式是$y=4x^{2}-240x+3600$.②令$4x^{2}-240x+3600=900$.解得$x=15$，或$x=45$.$\because 45+45＞60,\therefore x=45$不符合题意，舍去.
∴盒子的容积是$900×15=13500(cm^{3})$(或底边长为$\sqrt {900}=30,x=\frac {60-30}{2}=15$).
∴当做成的盒子的底面积为$900cm^{2}$时，该盒子的容积是$13500cm^{3}$.
(2)如图，截去的四边形是左上角和右上角的两个小四边形和四边形ABCD、四边形EFGH. 设盒子的高为h cm，则底面积为$S=\frac {1}{2}(60-2h)\cdot (60-2h)$.当$S=800cm^{2}$时，$\frac {1}{2}(60-2h)(60-2h)=800$.解得$h=10$，或$h=50$.
∵当$h=50$时，$60-2h＜0$，不合题意，$\therefore h=10$.
∴当底面积为$800cm^{2}$时，该盒子的高是10 cm.