《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

9. 如图,已知$\mathrm{Rt} \triangle ABC $中,$\angle C = 90^{\circ}$,$D是AC$上的一点,$\tan A = \frac{1}{2}$,$\angle CBD = \angle A$,求$\sin \angle ABD $的值.

答案：
解:如图,作$DE\perp AB$于点E. $\because\angle CBD=\angle A$,$\therefore\tan A=\tan\angle CBD=\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{2}$.设$CD=a$,则$BC=2a$,$AC=4a$,$AD=AC - CD=3a$.在$Rt\triangle BCD$中,$BD=\sqrt{5}a$.在$Rt\triangle ABC$中,$AB=2\sqrt{5}a$.在$Rt\triangle ADE$中,设$DE=x$,则$AE=2x$.$\because AE^{2}+DE^{2}=AD^{2}$,$\therefore$可解得$x=\frac{3\sqrt{5}}{5}a$,即$DE=\frac{3\sqrt{5}}{5}a$.在$Rt\triangle BDE$中,$\sin\angle ABD=\frac{DE}{BD}=\frac{3}{5}$.

1. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ BC = 6 $, $ \angle B = 30° $,则 $ AC = $$2\sqrt{3}$.

答案： $2\sqrt{3}$

2. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ AC = 2\sqrt{3} $,且 $ \angle A = 30° $,则 $ AB = ($B)
A.2
B.4
C.$ 4\sqrt{3} $
D.6

答案： B

3. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ AB = 8 $, $ \angle B = 30° $,则 $ BC = ($C)
A.$ 4\sqrt{2} $
B.4
C.$ 4\sqrt{3} $
D.$ 8\sqrt{3} $

答案： C

4. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ \angle A = \alpha $, $ AB = 5 $,则 $ AC = ($B)
A.$ 5\tan \alpha $
B.$ 5\cos \alpha $
C.$ 5\sin \alpha $
D.$ \frac{5}{\cos \alpha} $

答案： B

例1 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ \angle A = 35° $, $ AC = 3 $,求 $ BC $ 的长( $ \tan 35° \approx 0.7 $)。
【点拨】利用 $ \angle A $ 的正切函数求 $ BC $ 的长.

答案： 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle A=35^{\circ}$，$AC=3$。
因为$\tan A=\frac{BC}{AC}$，
所以$BC=AC\cdot\tan A\approx3×0.7=2.1$。
故$BC$的长约为$2.1$。

例2 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ \angle B = 57.36° $, $ c = 18 $,求 $ b $( $ \sin 57.36° \approx 0.84 $)。
【点拨】利用 $ \sin 57.36° $ 求 $ b $.

答案： 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，
$\because\sin B=\frac{b}{c}$，
$\therefore b=c\cdot\sin B$，
$\because\angle B=57.36^{\circ}$，$c=18$，$\sin57.36^{\circ}\approx0.84$，
$\therefore b\approx18×0.84=15.12$。

例3 在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90° $, $ AB = 10 $, $ \sin A = \frac{2}{5} $,求 $ BC $ 的长和 $ \tan B $ 的值.
【点拨】用正弦的定义即可求得 $ BC $ 的长. 要求 $ \tan B $,需要先用勾股定理求得 $ AC $ 的长.

答案： 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AB=10$，$\sin A=\frac{2}{5}$。
因为$\sin A=\frac{BC}{AB}$，所以$BC=AB\cdot\sin A=10×\frac{2}{5}=4$。
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-4^{2}}=\sqrt{100 - 16}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$。
因为$\tan B=\frac{AC}{BC}$，所以$\tan B=\frac{2\sqrt{21}}{4}=\frac{\sqrt{21}}{2}$。
$BC$的长为$4$，$\tan B$的值为$\frac{\sqrt{21}}{2}$。