《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

7. 一自动喷灌设备的喷流情况如图所示,设水管 $ AB $ 高 $ 1.5 m $,$ B $ 处有一自动旋转的喷头,一瞬间喷出的水流呈抛物线状,喷头与水流最高点 $ C $ 的连线与 $ x $ 轴成 $ 45° $ 角,水流的最高点 $ C $ 比喷头高 $ 2 m $.
(1) 求点 $ C $ 的坐标；
(2) 求此抛物线对应函数的表达式；
(3) 求水流落地点 $ D $ 到 $ A $ 点的距离.
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答案：
解:
(1)如图,过点 C 作$CE⊥y$轴于点 E,过点 C 作$CF⊥x$轴于点 F.
∴B点的坐标为(0,1.5),$\therefore ∠CBE=45^{\circ },\therefore EC=EB=2m.$$\because CF=AB+BE=2+1.5=3.5(m),$
∴C点的坐标为(2,3.5).
(2)设抛物线对应函数的表达式为$y=a(x-2)^{2}+3.5.$又
∵抛物线过点 B,$\therefore 1.5=a(0-2)^{2}+3.5,\therefore a=-\frac {1}{2}.$$\therefore y=-\frac {1}{2}(x-2)^{2}+3.5=-\frac {1}{2}x^{2}+2x+\frac {3}{2}.$
∴所求的函数表达式为$y=-\frac {1}{2}x^{2}+2x+\frac {3}{2}.$
(3)
∵抛物线与 x 轴相交时,$y=0,$$\therefore 0=-\frac {1}{2}x^{2}+2x+\frac {3}{2},$即$x^{2}-4x-3=0.$解得$x_{1}=2+\sqrt {7},x_{2}=2-\sqrt {7}$(舍去).
∴D点的坐标为$(2+\sqrt {7},0).$
∴水流落地点 D 到 A 点的距离为$(2+\sqrt {7})m.$

8. 跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动.集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子.当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线.如图,这是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图.两人拿绳子的手之间的距离为 $ 4 m $,离地面的高度为 $ 1 m $.以小明的手所在位置为原点,建立平面直角坐标系.

(1) 当身高为 $ 1.5 m $ 的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子手的右侧 $ 1 m $ 处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的函数表达式.
(2) 设身高为 $ 1.65 m $ 的小丽也站在绳子的正下方.
① 当小丽在距小亮拿绳子手的左侧 $ 1.5 m $ 处时,绳子能碰到小丽的头吗？
② 设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为 $ d m $,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求 $ d $ 的取值范围.(参考数据：$ \sqrt{10} $ 取 $ 3.16 $)

答案： 解:
(1)设所求的函数表达式为$y=ax^{2}+bx(a≠0).$$\because 1.5-1=0.5,$
∴抛物线经过点(4,0)和(1,0.5),$\therefore \left\{\begin{array}{l} 16a+4b=0,\\ a+b=0.5.\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-\frac {1}{6},\\ b=\frac {2}{3}.\end{array}\right. $
∴所求的函数表达式为$y=-\frac {1}{6}x^{2}+\frac {2}{3}x.$
(2)①绳子能碰到小丽的头.理由如下:
∵小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5m处,
∴小丽距原点$4-1.5=2.5(m).$当$x=2.5$时,$y=-\frac {1}{6}×2.5^{2}+\frac {2}{3}×2.5=0.625.$$\because 1+0.625=1.625＜1.65,$
∴绳子能碰到小丽的头.②$\because 1.65-1=0.65,$
∴当$y=0.65$时,$0.65=-\frac {1}{6}x^{2}+\frac {2}{3}x,$即$10x^{2}-40x+39=0$.解得$x=\frac {20\pm \sqrt {10}}{10}.$
∵$\sqrt {10}$取3.16,$\therefore x_{1}\approx 2.316,x_{2}\approx 1.684,$$\therefore 4-2.316=1.684,4-1.684=2.316,$$\therefore 1.684＜d＜2.316.$