《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

例 2 某二次函数的图象经过 $ A(-2,0) $,$ B(4,0) $,$ C(0,-8) $ 三点。
(1) 求这个二次函数的表达式；
(2) 求该图象的对称轴和顶点 $ P $ 的坐标；
(3) 直接写出 $ \triangle ABP $ 的面积。
【点拨】(1) 设这个二次函数的表达式为 $ y = a(x + 2)(x - 4) $,将点 $ C $ 的坐标代入可求得 $ a = 1 $。
(2) 把 (1) 中的表达式化成顶点式,即可求得对称轴和顶点坐标。
(3) 根据三角形的面积公式求解即可。

答案： 答题卡：
(1) 设二次函数表达式为 $y = a(x + 2)(x - 4)$。
代入点 $C(0, -8)$，得：
$-8 = a × 2 × (-4) = -8a$，
解得 $a = 1$。
因此，二次函数表达式为 $y = (x + 2)(x - 4) = x^{2} - 2x - 8$。
(2) 将 $y = x^{2} - 2x - 8$ 化为顶点式：
$y = (x - 1)^{2} - 9$，
所以，对称轴为直线 $x = 1$，顶点 $P$ 的坐标为 $(1, -9)$。
(3) 三角形 $\triangle ABP$ 的面积：
$S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} × |4 - (-2)| × |-9| = \frac{1}{2} × 6 × 9 = 27$。

1. 若某二次函数的图象经过 $ (0,1) $,$ (-1,0) $,$ (1,0) $ 三点,则它的表达式为(C)
A.$ y = x^{2}+1 $
B.$ y = x^{2}-1 $
C.$ y = - x^{2}+1 $
D.$ y = - x^{2}-1 $

答案： C

2. 过点 $ (1,0) $,$ B(3,0) $,$ C(-1,2) $ 的抛物线的顶点坐标是(D)
A.$ (1,2) $
B.$ (1,\frac{2}{3}) $
C.$ (-1,5) $
D.$ (2,-\frac{1}{4}) $

答案： D

3. 如图,某二次函数的图象与 $ x $ 轴交于点 $ (-1,0) $ 和 $ (3,0) $,与 $ y $ 轴交于点 $ (0,-3) $,则该函数的表达式为(B)

A.$ y = x^{2}+2x + 3 $
B.$ y = x^{2}-2x - 3 $
C.$ y = x^{2}-2x + 3 $
D.$ y = x^{2}+2x - 3 $

答案： B

4. 已知某二次函数的图象过 $ (0,1) $,$ (1,0) $,$ (-2,0) $ 三点,那么这个二次函数的表达式是 $y=-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+1$。

答案： $y=-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+1$

5. 如图,二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的图象经过点 $ (-1,0) $,$ (3,0) $ 和 $ (0,2) $。当 $ x = 2 $ 时,$ y $ 的值为 2。

答案： 2

6. 某二次函数的图象经过 $ A(0,3) $,$ B(-1,5) $,$ C(6,3) $ 三点。
(1) 求这个二次函数的表达式；
(2) 求该图象的顶点坐标。

答案： 解:
(1)设所求的函数表达式为 $y=ax^{2}+bx+c$。根据题意，得$\begin{cases}c = 3\\a - b + c = 5\\36a + 6b + c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = \frac{2}{7}\\b = -\frac{12}{7}\\c = 3\end{cases}$。
∴所求的函数表达式为 $y=\frac{2}{7}x^{2}-\frac{12}{7}x+3$。
(2)
∵$y=\frac{2}{7}x^{2}-\frac{12}{7}x+3=\frac{2}{7}(x - 3)^{2}+\frac{3}{7}$，
∴顶点坐标为$(3,\frac{3}{7})$。