《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

3. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0,a,b,c为常数)$的图象如图所示,则关于$x的方程ax^{2}+bx + c = m$有实数根的条件是(A)

A.$m\geqslant - 4$
B.$m\geqslant 0$
C.$m\geqslant 5$
D.$m\geqslant 6$

答案： A

4. 二次函数$y = -x^{2}+mx$的图象如图所示,对称轴为直线$x = 2$.若关于$x的一元二次方程-x^{2}+mx - t = 0(t为实数)在1\lt x\lt 5$的范围内有解,则$t$的取值范围是(D)

A.$t\gt - 5$
B.$-5\lt t\lt 3$
C.$3\lt t\leqslant 4$
D.$-5\lt t\leqslant 4$

答案： D

例1 已知抛物线$y = ax^{2}-4ax + 1$.
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线过点$A(-1,6)$,求对应二次函数的表达式；
(3)若该抛物线与坐标轴只有两个交点,求$a$的值.
【点拨】(1)直接由$x = -\dfrac{b}{2a}$求解.
(2)把点$A的坐标代入y = ax^{2}-4ax + 1$,求得$a = 1$,即可求出表达式.
(3)根据题意,得$\Delta = 0$,则$(-4a)^{2}-4a×1 = 0$,再求出$a$的值即可.

答案：
(1)对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4a}{2a}=2$。
(2)将$A(-1,6)$代入$y=ax^{2}-4ax + 1$，得$6=a(-1)^{2}-4a(-1)+1$，即$6=a + 4a + 1$，解得$a=1$，表达式为$y=x^{2}-4x + 1$。
(3)抛物线与$y$轴交于$(0,1)$，与坐标轴只有两个交点，则与$x$轴只有一个交点，$\Delta=0$。$\Delta=(-4a)^{2}-4a×1=16a^{2}-4a=0$，$4a(4a - 1)=0$，解得$a=0$（舍去）或$a=\dfrac{1}{4}$，故$a=\dfrac{1}{4}$。

例2 如图,已知抛物线$y= \dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{3}{2}x - 2与x轴交于A$,$B$两点($A点在B$点的左边),与$y轴交于点C$.点$P$在该抛物线上,点$Q$在该抛物线的对称轴上.若以$BC$为边,以点$B$,$C$,$P$,$Q$为顶点的四边形是平行四边形,求$P$点的坐标.

【点拨】解方程$\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{3}{2}x - 2 = 0$,可得$A(-1,0)$,$B(4,0)$,易得$C(0,-2)$.该抛物线的对称轴为直线$x= \dfrac{3}{2}$.讨论：当$BC$为边时,四边形$BCQ_{1}P_{1}$为平行四边形,把$B点向右平移\dfrac{3}{2}个单位得到P_{1}点的横坐标为4+\dfrac{3}{2}= \dfrac{11}{2}$,则计算$x= \dfrac{11}{2}时对应的函数值得到P_{1}$点的坐标；当$BC$为边时,四边形$BCP_{2}Q_{2}$为平行四边形,把$C点向左平移\dfrac{5}{2}个单位得到P_{2}点的横坐标为0-\dfrac{5}{2}= -\dfrac{5}{2}$,则计算$x = -\dfrac{5}{2}时对应的函数值得到P_{2}$点的坐标.

答案：
令$y=0$，得$\dfrac{1}{2}x^{2}-\dfrac{3}{2}x - 2=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=4$，$\therefore A(-1,0)$，$B(4,0)$。
当$x=0$时，$y=-2$，$\therefore C(0,-2)$。抛物线对称轴为直线$x=\dfrac{3}{2}$。
情况一：四边形$BCQ_{1}P_{1}$为平行四边形
$Q_{1}$在对称轴$x=\dfrac{3}{2}$上，$C(0,-2)$向右平移$\dfrac{3}{2}$个单位得$Q_{1}$横坐标。
$\therefore B(4,0)$向右平移$\dfrac{3}{2}$个单位得$P_{1}$横坐标：$4+\dfrac{3}{2}=\dfrac{11}{2}$。
当$x=\dfrac{11}{2}$时，$y=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{11}{2}\right)^{2}-\dfrac{3}{2}×\dfrac{11}{2}-2=\dfrac{39}{8}$。
$\therefore P_{1}\left(\dfrac{11}{2},\dfrac{39}{8}\right)$。
情况二：四边形$BCP_{2}Q_{2}$为平行四边形

$Q_{2}$在对称轴$x=\dfrac{3}{2}$上，$B(4,0)$向左平移$4-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$个单位得$Q_{2}$横坐标。
$\therefore C(0,-2)$向左平移$\dfrac{5}{2}$个单位得$P_{2}$横坐标：$0-\dfrac{5}{2}=-\dfrac{5}{2}$。
当$x=-\dfrac{5}{2}$时，$y=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\dfrac{3}{2}×\left(-\dfrac{5}{2}\right)-2=\dfrac{39}{8}$。
$\therefore P_{2}\left(-\dfrac{5}{2},\dfrac{39}{8}\right)$。
综上，$P$点坐标为$\left(\dfrac{11}{2},\dfrac{39}{8}\right)$，$\left(-\dfrac{5}{2},\dfrac{39}{8}\right)$。