《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

例 2 如图,四边形 $ ABCD $ 为正方形,点 $ A $ 的坐标为 $ (0, 2) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (0, -3) $,反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过点 $ C $,一次函数 $ y = ax + b $ 的图象经过点 $ A $,$ C $。

(1)求该反比例函数与一次函数的表达式；
(2)若点 $ P $ 是该反比例函数图象上的一点,$ \triangle OAP $ 的面积恰好等于正方形 $ ABCD $ 的面积,求点 $ P $ 的坐标。
点拨(1)先根据正方形的性质求出点 $ C $ 的坐标为 $ (5, -3) $,然后将点 $ C $ 的坐标代入 $ y = \frac{k}{x} $ 中,运用待定系数法求出该反比例函数的表达式。同理,将点 $ A $,$ C $ 的坐标代入 $ y = ax + b $ 中,运用待定系数法求出该一次函数的表达式。
(2)设点 $ P $ 的坐标为 $ (x, y) $,先由 $ \triangle OAP $ 的面积恰好等于正方形 $ ABCD $ 的面积,列出关于 $ x $ 的方程,解方程求出 $ x $ 的值,再将 $ x $ 的值代入 $ y = -\frac{15}{x} $,即可求出点 $ P $ 的坐标。

答案：
(1)
∵点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(0,-3)，
∴AB=2 - (-3)=5。
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=AB=5，BC⊥AB。
∵AB在y轴上，
∴点C的坐标为(5,-3)。
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点C，
∴$-3=\frac{k}{5}$，解得k=-15。
∴反比例函数的表达式为$y=-\frac{15}{x}$。
∵一次函数$y=ax+b$的图象经过点A(0,2)，C(5,-3)，
∴将A，C的坐标代入$y=ax+b$，得
$\begin{cases}b=2\\5a + b=-3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1\\b=2\end{cases}$。
∴一次函数的表达式为$y=-x + 2$。
(2)设点P的坐标为$(x,y)$。
∵正方形ABCD的面积为$AB^2=5^2=25$，
$\triangle OAP$的面积等于正方形ABCD的面积，
又
∵OA=2，
∴$\frac{1}{2}× OA×|x|=25$，即$\frac{1}{2}×2×|x|=25$。
解得$|x|=25$，$x=\pm25$。
当$x=25$时，$y=-\frac{15}{25}=-\frac{3}{5}$；
当$x=-25$时，$y=-\frac{15}{-25}=\frac{3}{5}$。
∴点P的坐标为$(25,-\frac{3}{5})$或$(-25,\frac{3}{5})$。