《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

3. 在△ABC 中,∠B = 30°,∠A = 120°,AB = 2,则△ABC 的周长为(C)
A.8
B.$2\sqrt{3}$
C.4 + $2\sqrt{3}$
D.4 + $\sqrt{3}$

答案： C

4. 如图,在△ABC 中,∠A = 30°,∠B = 45°,AC = $2\sqrt{3}$,则 AB = $3+\sqrt{3}$.

答案： $3+\sqrt{3}$

5. 如图,在△ABC 中,∠C = 120°,∠B = 45°,AC = 10,则 BC = $5\sqrt{3}-5$.

答案： $5\sqrt{3}-5$

6. 如图,在△ABC 中,∠B = 45°,∠C = 60°,AC = 8,求 BC 的长.

答案：
解:如图,过点A作$AD\perp BC$于点D.

$\because AD\perp BC$,$\angle C=60^{\circ}$,$\therefore CD=4$,$AD=4\sqrt{3}$.
$\because \angle B=45^{\circ}$,$\therefore BD=AD=4\sqrt{3}$.
$\therefore BC=BD+CD=4\sqrt{3}+4$.

7. 如图,在△ABC 中,BC = 4,∠B = 30°,∠BCA = 135°,求 AB 的长.

答案：
解:如图,作$AD\perp BC$交线段BC的延长线于点D,设$AD=x$.

$\because \angle BCA=135^{\circ}$,$\therefore \angle ACD=45^{\circ}$.
在$Rt\triangle ACD$中,$\because \angle ACD=45^{\circ}$,
$\therefore CD=AD=x$.
在$Rt\triangle BDA$中,$\because \angle B=30^{\circ}$,
$\therefore BD=\sqrt{3}x$,$AB=2AD$.
$\because BC=4$,$\therefore \sqrt{3}x-x=4$,$\therefore x=2\sqrt{3}+2$.
$\therefore AB=2x=4\sqrt{3}+4$.

8. 如图,若 CD⊥AB,CD = $3\sqrt{3}$ m,∠CAD = ∠DBC = 60°,求 AC 的长.

答案： 解:在$Rt\triangle ACD$中,$\sin\angle CAD=\frac{CD}{AC}$,
$\therefore AC=\frac{CD}{\sin\angle CAD}=\frac{3\sqrt{3}}{\sin60^{\circ}}=6(m)$.

9. 如图,某检测点设在距离公路 BC 10 m 远的 A 处. 在该检测点测得一辆汽车从 B 处行驶到 C 处所用的时间为 0.9 s,∠B = 30°,∠C = 45°.
(1)求 B,C 之间的距离(保留根号)；
(2)若此地限速为 80 km/h,则这辆汽车是否超速？请说明理由(参考数据：$\sqrt{3}$ ≈ 1.7,$\sqrt{2}$ ≈ 1.4).

答案：
解:
(1)如图,过点A作$AD\perp BC$于点D,则$AD=10\ m$.

$\because$在$Rt\triangle ACD$中,$\angle C=45^{\circ}$,
$\therefore Rt\triangle ACD$是等腰直角三角形,
$\therefore CD=AD=10\ m$.
在$Rt\triangle ABD$中,$\tan B=\frac{AD}{BD}$.
$\because \angle B=30^{\circ}$,$\therefore \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{10}{BD}$,$\therefore BD=10\sqrt{3}\ m$.
$\therefore BC=BD+DC=(10\sqrt{3}+10)\ m$.
(2)这辆汽车超速.理由如下:
由
(1)知$BC=(10\sqrt{3}+10)\ m$.
又$\sqrt{3}\approx1.7$,$\therefore BC\approx27\ m$.
$\therefore$这辆汽车的速度$v=\frac{27}{0.9}=30(m/s)$.
$30\ m/s=108\ km/h$,此地限速为$80\ km/h$.
$\because 108＞80$,$\therefore$这辆汽车超速.