《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

15. (8 分)已知正比例函数$y = kx与反比例函数y = \frac{3}{x}的图象都经过点A(m, 1)$.
(1)求该正比例函数的表达式；
(2)求该正比例函数与反比例函数图象的另一个交点的坐标.

答案： 解：
(1)
∵反比例函数$y = \dfrac{3}{x}$的图象经过点A(m,1)，
∴将A点的坐标代入$y = \dfrac{3}{x}$，得$m = 3$.
故A点的坐标为(3,1).
将A点的坐标代入$y = kx$，得$k = \dfrac{1}{3}$.
∴该正比例函数的表达式为$y = \dfrac{x}{3}$.
(2)由$\begin{cases} y = \dfrac{x}{3}, \\ y = \dfrac{3}{x}, \end{cases}$解得$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1, \end{cases}$或$\begin{cases} x = -3, \\ y = -1. \end{cases}$
∴该正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点的坐标为(-3,-1).

16. (8 分)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形$OABC的顶点A$,$C$分别在坐标轴上,顶点$B的坐标为(4, 2)$,$M$,$N分别是AB$,$BC$的中点.
(1)若反比例函数$y = \frac{m}{x}(x ＞ 0)的图象经过点M$,求该反比例函数的表达式,并通过计算判断点$N$是否在该函数的图象上；
(2)若反比例函数$y = \frac{m}{x}(x ＞ 0)的图象与\triangle MNB$(包括边界)有公共点,请直接写出$m$的取值范围.

答案： 解：
(1)
∵顶点B的坐标为(4,2)，M，N分别是AB，BC的中点，
∴M点的坐标为(2,2)，N点的坐标为(4,1).
把M点的坐标代入$y = \dfrac{m}{x}(m \neq 0)$，得$m = 2 × 2 = 4$.
∴该反比例函数的表达式为$y = \dfrac{4}{x}$.
∵N点的坐标为(4,1)，$4 × 1 = 4$，
∴点N在函数$y = \dfrac{4}{x}$的图象上.
(2)$4 \leqslant m \leqslant 8$.