《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

6. 将 $ y = \frac{1}{2}x^{2}-6x + 21 $ 用配方法化成 $ y = a(x - h)^{2}+k $ 的形式,并指出该函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及其增减性.

答案： 解:$y=\frac {1}{2}x^{2}-6x+21=\frac {1}{2}(x-6)^{2}+3.$该函数图象开口向上,对称轴是直线$x=6$,顶点坐标为$(6,3)$.当$x＜6$时,y随x的增大而减小;当$x＞6$时,y随x的增大而增大.

7. 汽车刹车后行驶的距离 $ s(m) $ 与行驶的时间 $ t(s) $ 之间的函数关系式为 $ s = -6t^{2}+bt $($ b $ 为常数). 已知 $ t = \frac{1}{2} $ 时,$ s = 6 $,求汽车刹车后行驶的最大距离.

答案： 解:把$t=\frac {1}{2},s=6$代入$s=-6t^{2}+bt$,得$6=-6×\frac {1}{4}+b×\frac {1}{2}.$解得$b=15.$$\therefore s=-6t^{2}+15t=-6(t-\frac {5}{4})^{2}+\frac {75}{8}.$$\because -6＜0,$$\therefore$当$t=\frac {5}{4}$时,s取得最大值,此时$s=\frac {75}{8}.$答:汽车刹车后行驶的最大距离是$\frac {75}{8}m.$

8. 已知二次函数 $ y = ax^{2}-2ax - 2 $.
(1)求该二次函数图象的对称轴；
(2)若该二次函数的图象开口向上,且当 $ -1 \leq x \leq 5 $ 时,该图象的最高点为 $ M $,最低点为 $ N $,点 $ M $ 的纵坐标为 $ \frac{11}{2} $,求点 $ M $ 和点 $ N $ 的坐标.

答案： 解:
(1)由$y=ax^{2}-2ax-2(a≠0)$,得该二次函数图象的对称轴是直线$x=-\frac {-2a}{2a}=1.$
(2)$\because$该图象开口向上,对称轴为直线$x=1$,$-1\leqslant x\leqslant 5.$$\therefore$当$x=5$时,y取得最大值,即点 M 的坐标为$(5,\frac {11}{2}).$$\therefore \frac {11}{2}=a×5^{2}-2a×5-2$.解得$a=\frac {1}{2}.$$\therefore$该二次函数的表达式为$y=ax^{2}-2ax-2=$$a(x-1)^{2}-a-2=\frac {1}{2}(x-1)^{2}-\frac {5}{2}.$$\therefore$点 N 的坐标为$(1,-\frac {5}{2}).$

9. 如图,在一次高尔夫球的练习中,小成在 $ O $ 处击球,球的飞行路线满足抛物线 $ y = -\frac{1}{5}x^{2}+\frac{8}{5}x $,其中 $ y(m) $ 是球的飞行高度,$ x(m) $ 是球飞出的水平距离,最终球到球洞的水平距离还有 $ 2m $.
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)求球洞与击球点之间的距离；
(3)若小成再一次从 $ O $ 处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球的飞行路线应满足怎样的抛物线？求出其对应的函数表达式.

答案： 解:
(1)$y=-\frac {1}{5}x^{2}+\frac {8}{5}x=-\frac {1}{5}(x-4)^{2}+\frac {16}{5},$$\therefore$抛物线$y=-\frac {1}{5}x^{2}+\frac {8}{5}x$的顶点坐标为$(4,\frac {16}{5}).$
(2)令$y=0$,得$-\frac {1}{5}x^{2}+\frac {8}{5}x=0.$解得$x_{1}=0,x_{2}=8.$$\therefore$球飞行的最大水平距离是8m,$\therefore$球洞与击球点之间的距离为$8+2=10(m).$
(3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变,则球飞行的最大水平距离为10 m.$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=5$,顶点坐标为$(5,\frac {16}{5}).$设所求的函数表达式为$y=a(x-5)^{2}+\frac {16}{5}.$又$\because$点$(0,0)$在此抛物线上,$\therefore 25a+\frac {16}{5}=0$.解得$a=-\frac {16}{125}.$$\therefore$所求的函数表达式为$y=-\frac {16}{125}(x-5)^{2}+\frac {16}{5},$即$y=-\frac {16}{125}x^{2}+\frac {32}{25}x.$