《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

例2  如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y=k_1x+b$的图象与反比例函数$y=\frac {k_2}x$的图象交于
点A(-4，-2)，B(-2，n)两点，与x轴交于点C
(1) 求 $ k_2 $,$ n $ 的值；
(2) 直接写出关于 $ x $ 的不等式 $ k_1x + b ＜ \frac{k_2}{x} $ 的解集；
(3) 将 $ x $ 轴下方的图象沿 $ x $ 轴翻折,点 $ A $ 落在点 $ A' $ 处,连接 $ A'B $,$ A'C $,求 $ \triangle A'BC $ 的面积.

【点拨】(1) 将 $ A $ 点和 $ B $ 点的坐标代入 $ y = \frac{k_2}{x} $,可得 $ k_2 $ 和 $ n $ 的值.
(2) 用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题.
(3) 求出对称点的坐标,从而求面积.

答案：
(1)将$A(-2,4)$代入$y = \frac{k_2}{x}$，得$4=\frac{k_2}{-2}$，解得$k_2 = - 8$。
$\therefore y = -\frac{8}{x}$。
将$B(n, - 2)$代入$y = -\frac{8}{x}$，得$-2=-\frac{8}{n}$，解得$n = 4$。
(2)不等式$k_1x + b \lt \frac{k_2}{x}$的解集为$-2 \lt x \lt 0$或$x \gt 4$。
(3)将$A(-2,4)$，$B(4, - 2)$代入$y = k_1x + b$，
得$\begin{cases}-2k_1 + b = 4\\4k_1 + b = - 2\end{cases}$，
两式相减得$-6k_1 = 6$，解得$k_1 = - 1$，
把$k_1 = - 1$代入$-2k_1 + b = 4$，得$2 + b = 4$，解得$b = 2$。
$\therefore$一次函数的表达式为$y = - x + 2$。
令$y = 0$，则$-x + 2 = 0$，解得$x = 2$，
$\therefore$它的图象与$x$轴交于点$C(2,0)$。
图象沿$x$轴翻折后，得$A'(4,2)$。
过点$A'$作$A'E\perp x$轴于点$E$，过点$B$作$BF\perp x$轴于点$F$。
$S_{\triangle A'BC}=S_{梯形A'EFB}-S_{\triangle A'CE}-S_{\triangle BFC}$
$=\frac{1}{2}×(2 + 4)×(4 - 0)-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×4×4$
$= 8$。
综上，答案依次为：
(1)$k_2 = - 8$，$n = 4$；
(2)$-2 \lt x \lt 0$或$x \gt 4$；
(3)$8$。

1. 已知一次函数 $ y_1 = kx + b (k ＜ 0) $ 与反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x} (m \neq 0) $ 的图象相交于 $ A $,$ B $ 两点,其横坐标分别是 $ -1 $ 和 $ 3 $. 当 $ y_1 ＞ y_2 $ 时,实数 $ x $ 的取值范围是(A)
A.$ x ＜ -1 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 3 $
B.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 3 $
C.$ -1 ＜ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 3 $
D.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 3 $

答案： A