《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

1. 已知点 $ A(-2, y_1) $,$ B(1, y_2) $,$ C(3, y_3) $ 都在反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象上,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系是(B)
A.$ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $
B.$ y_1 ＜ y_3 ＜ y_2 $
C.$ y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $
D.$ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $

答案： B

2. 对于反比例函数 $ y = \frac{2}{x} $,下列说法不正确的是(C)
A.点 $ (-2, -1) $ 在它的图象上
B.它的图象在第一、三象限
C.当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小

答案： C

3. 如图,点 $ A $ 为反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 图象上的一点,$ AB $ 垂直于 $ x $ 轴,交 $ x $ 轴于 $ B $ 点. 若 $ S_{\triangle AOB} = 3 $,则 $ k = $6.

答案： 6

4. 如图,在平面直角坐标系中,过点 $ M(-3, 2) $ 分别作 $ x $ 轴、$ y $ 轴的垂线,与反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的图象交于 $ A $,$ B $ 两点,那么四边形 $ MAOB $ 的面积为10.

答案： 10

如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $ y = 2x - 2 $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象交于 $ A $,$ C $ 两点. 过点 $ A $ 作 $ AB \perp OA $,$ AB $ 交 $ x $ 轴于点 $ B $,且 $ OA = AB $.

(1) 求该反比例函数的表达式；
(2) 求点 $ C $ 的坐标,并直接写出 $ 2x - 2 ＜ \frac{k}{x} $ 时 $ x $ 的取值范围.
【点拨】(1) 作高线 $ AD $,由等腰直角三角形的性质和点 $ A $ 的坐标的特点得到 $ x = 2x - 2 $,则可得到点 $ A $ 的坐标,从而得到该反比例函数的表达式.
(2) 联立一次函数和反比例函数的表达式,通过解方程组可得到点 $ C $ 的坐标.

答案：
(1)设$A(x,2x - 2)$，过点$A$作$AD\perp x$轴于点$D$。
因为$AB\perp OA$且$OA = AB$，所以$\triangle AOB$是等腰直角三角形，$OD = BD$，$AD=\frac{1}{2}OB = OD$，则$x = 2x - 2$，
解得$x = 2$，
所以$A(2,2)$，
把$A(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k = 2×2 = 4$，
所以反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(2)联立$\begin{cases}y = 2x - 2\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$，
即$2x - 2=\frac{4}{x}$，
$2x^{2}-2x - 4 = 0$，
$x^{2}-x - 2 = 0$，
$(x - 2)(x + 1)=0$，
解得$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$或$\begin{cases}x = -1\\y = -4\end{cases}$，
所以$C(-1,-4)$。
由图象可知，当$2x - 2\lt\frac{4}{x}$时，$x$的取值范围是$x\lt - 1$或$0\lt x\lt2$。
综上，答案依次为：
(1)$y=\frac{4}{x}$；
(2)$C(-1,-4)$；$x\lt - 1$或$0\lt x\lt2$。