《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

17. (8 分)如图,在平面直角坐标系中,正比例函数$y = kx与反比例函数y = \frac{m}{x}(x ＞ 0)的图象都经过点A(2, -2)$.
(1)分别求这两个函数的表达式；
(2)将直线$OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B$,与该反比例函数的图象交于点$C$,连接$AB$,$AC$,求点$C的坐标及\triangle ABC$的面积.

答案：
解：
(1)将点A的坐标代入$y = \dfrac{m}{x}$，得$-2 = \dfrac{m}{2}$.
解得$m = -4$.
故该反比例函数的表达式为$y = -\dfrac{4}{x}(x ＞ 0)$.
将点A的坐标代入$y = kx$，得$-2 = 2k$.
解得$k = -1$.
故该一次函数的表达式为$y = -x$.
(2)如图，设直线AC交y轴于点D.

由题意可得直线BC的表达式为$y = -x + 3$.
令$x = 0$，得$y = 3$. 故点B的坐标为(0,3).
联立$y = -x + 3$与$y = -\dfrac{4}{x}$，得$\begin{cases} y = -x + 3, \\ y = -\dfrac{4}{x}. \end{cases}$
解得$\begin{cases} x = 4, \\ y = -1. \end{cases}$故点C的坐标为(4,-1).
设直线AC的表达式为$y = ax + b$.
将A，C两点的坐标代入上式，得$\begin{cases} 2a + b = -2, \\ 4a + b = -1. \end{cases}$解得$\begin{cases} a = \dfrac{1}{2}, \\ b = -3. \end{cases}$
∴$y = \dfrac{1}{2}x - 3$.
当$x = 0$时，$y = -3$，即D点的坐标为(0,-3).
∴$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} × 6 × 4 - \dfrac{1}{2} × 6 × 2 = 6$.

18. (10 分)如图,一次函数$y = kx + b$($k$,$b$为常数,$k \neq 0$)的图象与$x$轴、$y轴分别交于A$,$B$两点,且与反比例函数$y = \frac{n}{x}$($n$为常数,且$n \neq 0$)的图象在第二象限交于点$C$. 作$CD \perp x$轴,垂足为点$D$. 设$OB = 2OA = 3OD = 12$.
(1)求该一次函数与反比例函数的表达式；
(2)记两函数图象的另一个交点为$E$,求$\triangle CDE$的面积；
(3)直接写出关于$x的不等式kx + b \leq \frac{n}{x}$的解集.

答案： 解：
(1)由已知可得$OA = 6$，$OB = 12$，$OD = 4$.
∵$CD \perp x$轴，
∴$OB // CD$，
∴$\triangle ABO \backsim \triangle ACD$，
∴$\dfrac{OA}{AD} = \dfrac{OB}{CD}$.
∵$\dfrac{6}{10} = \dfrac{12}{CD}$，
∴$CD = 20$，
∴点C的坐标为(-4,20)，
∴$n = xy = -80$，
∴该反比例函数的表达式为$y = -\dfrac{80}{x}$.
把点A，B的坐标代入$y = kx + b$，得$\begin{cases} 0 = 6k + b, \\ b = 12. \end{cases}$解得$\begin{cases} k = -2, \\ b = 12. \end{cases}$
∴该一次函数的表达式为$y = -2x + 12$.
(2)令$-\dfrac{80}{x} = -2x + 12$，解得$x_1 = 10$，$x_2 = -4$.
对于$y = -2x + 12$，当$x = 10$时，$y = -8$.
∴点E的坐标为(10,-8).
∴$S_{\triangle CDE} = S_{\triangle CDA} + S_{\triangle DEA} = \dfrac{1}{2} × 20 × 10 + \dfrac{1}{2} × 8 × 10 = 140$.
(3)$kx + b \leqslant \dfrac{n}{x}$的解集为$x \geqslant 10$或$-4 \leqslant x ＜ 0$.