《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

19. (12 分)如图,矩形$ABCD的两边AD$,$AB的长分别为3和8$,点$E是边DC$的中点,反比例函数$y = \frac{m}{x}(x ＜ 0)的图象经过点E$,与$AB交于点F$.
(1)若点$B的坐标为(-6, 0)$,求$m的值及图象经过A$,$E$两点的一次函数的表达式；
(2)连接$AE$,若$AF - AE = 2$,求该反比例函数的表达式.

答案： 解：
(1)
∵点B的坐标为(-6,0)，$AD = 3$，$AB = 8$，E为CD的中点，
∴点A的坐标为(-6,8)，点E的坐标为(-3,4).
又
∵反比例函数$y = \dfrac{m}{x}(x ＜ 0)$的图象经过点E，
∴$m = xy = -3 × 4 = -12$.
设所求一次函数的表达式为$y = kx + b(k \neq 0)$.
∴$\begin{cases} -6k + b = 8, \\ -3k + b = 4. \end{cases}$解得$\begin{cases} k = -\dfrac{4}{3}, \\ b = 0. \end{cases}$
∴$y = -\dfrac{4}{3}x$.
(2)
∵$Rt\triangle ADE$中，$AD = 3$，$DE = 4$，
∴$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
∵$AF - AE = 2$，
∴$AF = 7$，
∴$BF = 1$.
设点E的坐标为(a,4)，则点F的坐标为(a - 3,1).
∵E，F两点在函数$y = \dfrac{m}{x}(x ＜ 0)$的图象上，
∴$4a = a - 3$. 解得$a = -1$.
∴点E的坐标为(-1,4).
∴$m = -1 × 4 = -4$.
∴该反比例函数的表达式为$y = -\dfrac{4}{x}(x ＜ 0)$.

20. (12 分)如图,已知直线$AB与x轴交于点C$,与双曲线$y = \frac{k}{x}交于A(3, \frac{20}{3})$,$B(-5, a)$两点. 作$AD \perp x轴于点D$,$BE // x轴且与y轴交于点E$.
(1)求点$B的坐标及直线AB$的表达式；
(2)判断四边形$CBED$的形状,并说明理由.

答案： 解：
(1)
∵双曲线$y = \dfrac{k}{x}$过点$A(3,\dfrac{20}{3})$，
∴$\dfrac{20}{3} = \dfrac{k}{3}$，即$k = 20$.
把点B的坐标代入$y = \dfrac{20}{x}$，得$a = -4$.
∴点B的坐标是(-5,-4).
设直线AB的表达式为$y = mx + n$，将A，B两点的坐标代入上式，得$\begin{cases} 3m + n = \dfrac{20}{3}, \\ -5m + n = -4. \end{cases}$
解得$\begin{cases} m = \dfrac{4}{3}, \\ n = \dfrac{8}{3}. \end{cases}$
∴直线AB的表达式为$y = \dfrac{4}{3}x + \dfrac{8}{3}$.
(2)四边形CBED是菱形.
理由：由点B的坐标为(-5,-4)，$BE // x$轴且与y轴交于点E，得点E的坐标为(0,-4)，$BE // CD$，$BE = 5$，则$OE = 4$.
∵点D的坐标为(3,0)，点C的坐标为(-2,0)，
∴$OD = 3$，$CD = 5$，则$CD = BE$.
∴四边形CBED是平行四边形.
在$Rt\triangle OED$中，$ED^2 = OD^2 + OE^2$，
∴$ED = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，
∴$ED = CD$.
∴四边形CBED是菱形.