《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

4. 当 $ k $ 取任意实数时,抛物线 $ y = 3(x - k - 1)^2 + k^2 + 2 $ 的顶点所在的函数图象的表达式是(C)
A.$ y = x^2 + 2 $
B.$ y = x^2 - 2x + 1 $
C.$ y = x^2 - 2x + 3 $
D.$ y = x^2 + 2x - 3 $

答案： C

例 1 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象顶点坐标为 $(1,4)$,且经过点 $ C(3,0) $。
(1)求该二次函数的表达式。
(2)当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
(3)当 $ y \leq -x + 3 $ 时,直接写出 $ x $ 的取值范围。
【点拨】(1)已知二次函数图象的顶点坐标,可设其表达式为 $ y = a(x - 1)^2 + 4 $,然后把点 $ C $ 的坐标代入求出 $ a $ 的值。
(2)根据二次函数的性质,当图象开口向下时,在对称轴右侧 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,即 $ x ＞ 1 $。
(3)易证得二次函数的图象与直线 $ y = -x + 3 $ 的交点坐标为 $(0,3)$ 和 $(3,0)$,再结合二次函数的性质即可求得 $ x $ 的取值范围。

答案： 【解】：
(1)设二次函数表达式为 $y = a(x - 1)^2 + 4$。
代入点 $C(3,0)$，得：
$0 = a(3 - 1)^2 + 4$，
$0 = 4a + 4$，
解得 $a = -1$。
所以，该二次函数表达式为 $y = -(x - 1)^2 + 4$。
(2)由于 $a = -1 ＜ 0$，二次函数开口向下。
因此，当 $x ＞ 1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。
(3)令 $x = 0$，则 $y = -(0 - 1)^2 + 4 = 3$。
所以二次函数图象经过点 $(0,3)$。
直线 $y = -x + 3$ 也经过点 $(0,3)$ 和 $(3,0)$。
由于二次函数图象开口向下，且与直线 $y = -x + 3$ 在 $(0,3)$ 和 $(3,0)$ 相交，
所以当 $y \leq -x + 3$ 时，$x$ 的取值范围为 $x \leq 0$ 或 $x \geq 3$。

例 2 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = x^2 + mx + n $ 经过点 $ A(3,0) $,$ B(0,-3) $,点 $ P $ 是直线 $ AB $ 上的动点,过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线交该抛物线于点 $ M $。设点 $ P $ 的横坐标为 $ t $。
(1)分别求出直线 $ AB $ 和该抛物线对应的函数表达式；
(2)若点 $ P $ 在第四象限,连接 $ AM $,$ BM $,当线段 $ PM $ 最长时,求 $ \triangle ABM $ 的面积。

【点拨】(1)利用待定系数法求两个函数的表达式。
(2)设 $ P(t,t - 3)(0 ＜ t ＜ 3) $,则 $ M(t,t^2 - 2t - 3) $,可得 $ PM = t - 3 - (t^2 - 2t - 3) $。利用二次函数的性质得到,当 $ t = \frac{3}{2} $ 时,线段 $ PM $ 最长,最长为 $ \frac{9}{4} $,然后根据三角形的面积公式计算此时 $ \triangle ABM $ 的面积。

答案：
(1)设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + b$，
把$A(3,0)$，$B(0,-3)$代入得$\begin{cases}3k + b = 0\\b = - 3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = 1\\b = - 3\end{cases}$，
所以直线$AB$的函数表达式为$y = x - 3$。
把$A(3,0)$，$B(0,-3)$代入$y = x^{2}+mx + n$得$\begin{cases}9 + 3m + n = 0\\n = - 3\end{cases}$，
解得$\begin{cases}m = - 2\\n = - 3\end{cases}$，
所以抛物线的函数表达式为$y = x^{2}-2x - 3$。
(2)因为点$P$在直线$AB$上，且横坐标为$t$，点$P$在第四象限，所以$P(t,t - 3)(0\lt t\lt3)$，
因为$PM\perp x$轴，且$M$在抛物线上，所以$M(t,t^{2}-2t - 3)$，
则$PM=(t - 3)-(t^{2}-2t - 3)=-t^{2}+3t=-(t-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}$，
当$t = \frac{3}{2}$时，$PM$最长为$\frac{9}{4}$，
$S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}×(3 - 0)×\frac{9}{4}=\frac{27}{8}$。
综上，答案依次为：
(1)直线$AB$的函数表达式为$y = x - 3$，抛物线的函数表达式为$y = x^{2}-2x - 3$；
(2)$\frac{27}{8}$。