《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

1. 在同一坐标系中,抛物线 $ y = 2x^2 $,$ y = -x^2 $,$ y = \frac{1}{2}x^2 $ 的共同点是(B)
A.开口向上,对称轴是 $ y $ 轴,顶点是原点
B.对称轴是 $ y $ 轴,顶点是原点
C.开口向下,对称轴是 $ y $ 轴,顶点是原点
D.对应函数的最小值为 $ 0 $

答案： B

2. 下列说法错误的是(C)

A.在二次函数 $ y = 3x^2 $ 中,当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
B.在二次函数 $ y = -6x^2 $ 中,当 $ x = 0 $ 时,$ y $ 有最大值 $ 0 $
C.对于二次函数 $ y = ax^2 $,$ a $ 越大,图象开口越小；$ a $ 越小,图象开口越大
D.不论 $ a $ 是正数还是负数,抛物线 $ y = ax^2 (a \neq 0) $ 的顶点一定是坐标原点

答案： C

3. 如图,这是一座抛物线形拱桥的示意图,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于 $ A $,$ B $ 两点,桥拱最高点 $ C $ 到 $ AB $ 的距离为 $ 9 \, m $,$ AB = 36 \, m $,$ D $,$ E $ 为桥拱底部的两点,且 $ DE // AB $。若点 $ E $ 到直线 $ AB $ 的距离为 $ 7 \, m $,则 $ DE $ 的长为 $\underline{48} \, m$。
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答案： 48

4. 二次函数 $ y = \sqrt{3}x^2 $ 的图象如图所示,点 $ O $ 为坐标原点,点 $ A $ 在 $ y $ 轴的正半轴上,点 $ B $,$ C $ 在二次函数 $ y = \sqrt{3}x^2 $ 的图象上,四边形 $ OBAC $ 为菱形,且 $ \angle OBA = 120^{\circ} $,则菱形 $ OBAC $ 的面积为 $\underline{$2\sqrt{3}$}$。
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答案： $2\sqrt{3}$

例 1 如图,一次函数 $ y = kx + b $ 与二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象交于 $ A(-1, n) $,$ B(2, 4) $ 两点。
(1)求这两个函数的表达式；
(2)根据图象写出使 $ kx + b ＜ ax^2 $ 的 $ x $ 的取值范围。

【点拨】
(1)把 $ B $ 点的坐标代入 $ y = ax^2 $,即可求得二次函数的表达式。把 $ A $ 点的横坐标代入二次函数的表达式,即可求得 $ A $ 点的坐标。把 $ A $,$ B $ 两点的坐标代入 $ y = kx + b $,即可求得一次函数的表达式。
(2)根据图象确定一次函数的值小于二次函数的值时 $ x $ 的取值范围。
【解】
(1)由图象可知 $ B(2, 4) $ 在二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象上,
$\therefore 4 = a × 2^2$,
$\therefore a = 1$,
$\therefore$ 二次函数的表达式为 $ y = x^2 $。
又 $ A(-1, n) $ 在二次函数 $ y = x^2 $ 的图象上,
$\therefore n = (-1)^2 = 1$。
$\therefore A $ 点的坐标为 $ (-1, 1) $。
又 $ A $,$ B $ 两点在一次函数 $ y = kx + b $ 的图象上,
$\therefore \begin{cases} 1 = -k + b \\ 4 = 2k + b \end{cases} $
解得 $\begin{cases} k = 1 \\ b = 2 \end{cases} $
$\therefore$ 一次函数的表达式为 $ y = x + 2 $。
(2)根据图象可知：当 $ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 2 $ 时,$ kx + b ＜ ax^2 $。
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答案：
(1)
把$B(2,4)$代入$y = ax^{2}$，得$4 = a×2^{2}$，解得$a = 1$，所以二次函数表达式为$y = x^{2}$。
把$A(-1,n)$代入$y = x^{2}$，得$n=(-1)^{2}=1$，所以$A$点坐标为$(-1,1)$。
把$A(-1,1)$，$B(2,4)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}-k + b = 1\\2k + b = 4\end{cases}$，
两式相减得$3k = 3$，解得$k = 1$，把$k = 1$代入$-k + b = 1$得$b = 2$，所以一次函数表达式为$y = x + 2$。
(2)
根据图象可知，使$kx + b\lt ax^{2}$的$x$的取值范围是$x\lt - 1$或$x\gt 2$。