《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

7. 如图,已知抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(1,0) $,$ B(3,0) $,且过点 $ C(0,-3) $。
(1) 求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
(2) 请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线 $ y = - x $ 上,并写出平移后抛物线对应的函数表达式。

答案： 解:
(1)设所求的函数表达式为 $y=a(x - 1)(x - 3)$。
∵抛物线过点C(0, - 3)，
∴$-3=a(-1)×(-3)$，解得$a=-1$。
∴$y=-(x - 1)(x - 3)=-x^{2}+4x - 3$。
∵$y=-x^{2}+4x - 3=-(x - 2)^{2}+1$，
∴顶点坐标为(2,1)。
(2)答案不唯一，如先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线$y=-x^{2}$。平移后抛物线的顶点为(0,0)，落在直线$y=-x$上。

8. 如图,抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 经过 $ A(-1,0) $,$ B(4,0) $,$ C(0,3) $ 三点,$ D $ 为直线 $ BC $ 上方抛物线上一动点,$ DE\perp BC $ 于点 $ E $。
(1) 求抛物线对应的函数表达式；
(2) 求线段 $ DE $ 长度的最大值。

答案：
解:
(1)由题意得$\begin{cases}a - b + c = 0\\16a + 4b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{3}{4}\\b = \frac{9}{4}\\c = 3\end{cases}$。
∴所求的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x^{2}+\frac{9}{4}x+3$。
(2)如图，过点D作DM⊥x轴交BC于点M。 由勾股定理得$BC=\sqrt{OC^{2}+OB^{2}}=5$。设直线BC的表达式为$y=kx+b$，则$\begin{cases}4k + b = 0\\b = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{3}{4}\\b = 3\end{cases}$。
∴直线BC的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$。设点M的坐标为$(a,-\frac{3}{4}a+3)$，则$DM=(-\frac{3}{4}a^{2}+\frac{9}{4}a+3)-(-\frac{3}{4}a+3)=-\frac{3}{4}a^{2}+3a$。
∵$\angle DME=\angle OCB$，$\angle DEM=\angle BOC$，
∴$\triangle DEM\backsim\triangle BOC$。
∴$\frac{DE}{DM}=\frac{BO}{BC}$，即$\frac{DE}{DM}=\frac{4}{5}$。解得$DE=\frac{4}{5}DM$。
∴$DE=-\frac{3}{5}a^{2}+\frac{12}{5}a=-\frac{3}{5}(a - 2)^{2}+\frac{12}{5}$。当$a = 2$时，DE取最大值，最大值是$\frac{12}{5}$。

9. 如图,已知抛物线 $ y = -\frac{1}{3}x^{2}+bx + c $ 经过点 $ A(3\sqrt{3},0) $ 和点 $ B(0,3) $,且它的对称轴为直线 $ l $,顶点为 $ C $。
(1) 求抛物线对应的函数表达式；
(2) 连接 $ AB,AC,BC $,求 $ \triangle ABC $ 的面积。

答案： 解:
(1)
∵抛物线$y=-\frac{1}{3}x^{2}+bx+c$经过$A(3\sqrt{3},0)$，$B(0,3)$，
∴$\begin{cases}-9 + 3\sqrt{3}b + c = 0\\c = 3\end{cases}$，解得$b=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
∴所求的表达式为$y=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+3$。
(2)由
(1)知，抛物线的对称轴为直线$x = \sqrt{3}$。把$x = \sqrt{3}$代入$y=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+3$，得$y = 4$。
∴点C的坐标为$(\sqrt{3},4)$。设线段AB所在直线为$y=kx+b$，易得$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+3$。
∵线段AB所在直线经过点$A(3\sqrt{3},0)$，$B(0,3)$，抛物线的对称轴l与直线AB交于点D，
∴可设点D的坐标为$(\sqrt{3},m)$。将点D的坐标代入$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+3$，解得$m = 2$。
∴点D的坐标为$(\sqrt{3},2)$，
∴$CD = 4 - 2 = 2$。
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}CD(x_{A}-x_{B})=\frac{1}{2}×2×3\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。