《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

例 2 如图,$ Rt \triangle OAB $ 的顶点 $ A(-2, 4) $ 在抛物线 $ y = ax^{2} (a \neq 0) $ 上。将 $ Rt \triangle OAB $ 绕点 $ O $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ \triangle OCD $,边 $ CD $ 与该抛物线交于点 $ P $,求点 $ P $ 的坐标。
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- 点拨 由点 $ A(-2, 4) $ 可知 $ OD = OB = 2 $,所以点 $ P $ 的纵坐标是 $ 2 $。求点 $ P $ 的横坐标的关键是用待定系数法求出 $ a $ 的值。

答案： $\because Rt\triangle OAB$的顶点$A(-2,4)$在抛物线$y = ax^{2}(a\neq0)$上，
$\therefore4 = a×(-2)^{2}$，
解得$a = 1$，
$\therefore$抛物线解析式为$y = x^{2}$。
$\because A(-2,4)$，$AB\perp x$轴，
$\therefore B(-2,0)$，$OB = 2$。
$\because Rt\triangle OAB$绕点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle OCD$，
$\therefore D$点在$y$轴上，且$OD = OB = 2$，
$\therefore$点$D$的坐标为$(0,2)$。
$\because DC\perp OD$，
$\therefore DC// x$轴，
$\therefore$点$P$的纵坐标为$2$。
把$y = 2$代入$y = x^{2}$，
得$2 = x^{2}$，
解得$x = \pm\sqrt{2}$（舍去负值），
$\therefore$点$P$的坐标为$(\sqrt{2},2)$。

1. 抛物线 $ y = -x^{2} $ 不具有的性质是(C)
A.开口向下
B.对称轴是 $ y $ 轴
C.与 $ x $ 轴有两个交点
D.最高点是坐标原点

答案： 1. C

2. 对于二次函数 $ y = x^{2} $ 和 $ y = -x^{2} $,有以下说法：① 它们的图象都是开口向上；② 它们的对称轴都是 $ y $ 轴,顶点坐标都是 $ (0, 0) $；③ 当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 都是随着 $ x $ 的增大而增大；④ 它们开口的大小是一样的。其中,正确的说法有(B)
A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

答案： 2. B

3. 若二次函数 $ y = ax^{2} (a \neq 0) $ 的图象经过点 $ P(-2, 4) $,则该图象必经过点(A)
A.$ (2, 4) $
B.$ (-2, -4) $
C.$ (-4, 2) $
D.$ (4, -2) $

答案： 3. A

4. 二次函数 $ y = -x^{2} $ 的图象经过点 $ P(-6, m) $,则 $ m = $-36。

答案： 4. -36

5. 已知点 $ (-1, a) $,$ (2, b) $,$ (3, c) $ 都在二次函数 $ y = -x^{2} $ 的图象上,那么 $ a $,$ b $,$ c $ 的大小关系是a＞b＞c。

答案： 5. a＞b＞c