《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

8. 已知一次函数 $ y = ax + b $ 的图象上有两点 $ A $,$ B $,它们的横坐标分别是 $ 3 $,$ -1 $,且二次函数 $ y = \frac{1}{3}x^2 $ 的图象经过 $ A $,$ B $ 两点。
(1)求一次函数的表达式；
(2)设二次函数图象的顶点为 $ C $,求 $ \triangle ABC $ 的面积。

答案：
解:
(1)当$x=3$时,$y=\frac{1}{3}x^{2}=3$,
∴点A的坐标为$(3,3)$.当$x=-1$时,$y=\frac{1}{3}x^{2}=\frac{1}{3}$,
∴点B的坐标为$(-1,\frac{1}{3})$.将A,B的坐标代入$y=ax+b$,得$\begin{cases}3a+b=3, \\ -a+b=\frac{1}{3} \end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{2}{3}, \\ b=1 \end{cases}$
∴一次函数的表达式为$y=\frac{2}{3}x+1$.
(2)
∵二次函数的表达式为$y=\frac{1}{3}x^{2}$,
∴点C的坐标为$(0,0)$.如图,设一次函数的图象与y轴的交点为D,则点D的坐标为$(0,1)$,
∴$CD=1$.
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}CD\cdot (x_{A}-x_{B})=\frac{1}{2}× 1× 4=2$.

9. 有一座抛物线形拱桥,在正常水位 $ AB $ 时,桥下水面的宽度为 $ 20 \, m $,拱顶距水面 $ 4 \, m $。
(1)在如图所示的直角坐标系中,求该抛物线对应的函数表达式；
(2)在正常水位的基础上,当水位上升 $ h \, m $ 时,桥下水面 $ CD $ 的宽度为 $ d \, m $,求 $ h $ 与 $ d $ 之间的函数关系式；
(3)设正常水位时,桥下的水深为 $ 2 \, m $,为保证过往船只顺利通过,桥下水面的宽度不得小于 $ 18 \, m $,求水深超过多少米时,就会影响过往船只在桥下顺利航行。
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答案： 解:
(1)设所求的函数表达式为$y=ax^{2}$.将点$B(10,-4)$的坐标代入上式,得$-4=100a$.解得$a=-\frac{1}{25}$.
∴所求的函数表达式为$y=-\frac{1}{25}x^{2}$.
(2)把点$D(\frac{d}{2},h-4)$的坐标代入$y=-\frac{1}{25}x^{2}$,得$h=4-\frac{1}{100}d^{2}$.
(3)把$x=9$代入$y=-\frac{1}{25}x^{2}$,得$y=-\frac{1}{25}× 9^{2}=-\frac{81}{25}$.
∴$4+2-\frac{81}{25}=\frac{69}{25}(m)$.
∴当水深超过$\frac{69}{25}m$时,就会影响过往船只在桥下顺利航行.