《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

9. 如图,一次函数 $ y = ax + b $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象交于 $ M(2, m) $,$ N(-1, -4) $ 两点。
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)连接 $ OM $,$ ON $,求 $ \triangle OMN $ 的面积；
(3)在 $ x $ 轴的正半轴上是否存在点 $ Q $,使 $ \triangle MOQ $ 是等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点 $ Q $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案： 解:
(1)把N点的坐标代入y = $\frac{k}{x}$,得k = 4.
∴y = $\frac{4}{x}$.把M点的坐标代入y = $\frac{4}{x}$,得m = 2.
∴M点的坐标为(2,2).把N,M两点的坐标代入y = ax + b,得{-4 = -a + b, 2 = 2a + b},解得{a = 2, b = -2}.
∴y = 2x - 2.
∴该反比例函数的表达式是y = $\frac{4}{x}$,该一次函数的表达式是y = 2x - 2.
(2)如图1,设MN交x轴于点C.
∵y = 2x - 2,
∴当y = 0时,x = 1,
∴C点的坐标为(1,0),
∴OC = 1.
∴S△MON = S△MOC + S△NOC = $\frac{1}{2}$×1×2 + $\frac{1}{2}$×1×|-4| = 3.
(3)如图2,易得当OM = OQ时,Q点的坐标是(2$\sqrt{2}$,0);当OM = MQ时,Q点的坐标是(4,0);当OQ = QM时,Q点的坐标是(2,0).
∴在x轴的正半轴上存在点Q,使△MOQ是等腰三角形，所有符合条件的点Q的坐标是(2$\sqrt{2}$,0)或(4,0)或(2,0).