《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

8. 某中学在教学楼前新建了一座雕塑 $ AB $. 如图,为了测量雕塑 $ AB $ 的高度,小明在二楼找到一点 $ C $,利用三角尺测得雕塑顶端 $ A $ 点的仰角为 $ 30^{\circ} $,底部 $ B $ 点的俯角为 $ 45^{\circ} $. 小华在五楼找到一点 $ D $,利用三角尺测得 $ A $ 点的俯角为 $ 60^{\circ} $. 已知 $ CD = 10 \, m $,求雕塑 $ AB $ 的高度.(结果精确到 $ 0.1 \, m $. 参考数据：$ \sqrt{3} \approx 1.73 $)
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答案：
解:如图,过点C作CE⊥AB于点E.
∵∠D=90° - 60°=30°,∠ACD=90° - 30°=60°,
∴∠CAD=90°.
∵CD=10 m,
∴AC=1/2CD=1/2×10=5(m).在Rt△ACE中,AE=AC·sin∠ACE=5·sin30°=5/2(m),CE=AC·cos∠ACE=5·cos30°=5/2√3(m).在Rt△BCE中,
∵∠BCE=45°,
∴BE=CE·tan45°=5/2√3·tan45°=5/2√3(m).
∴AB=AE+BE=5/2+5/2√3=5/2(√3+1)≈6.8(m).
∴雕塑AB的高度约为6.8 m.

9. 某岛东西长约 $ 3650 \, m $. 如图,某海警船巡航到点 $ D $ 处时,测得该岛最西端(点 $ A $ 处)的方向角为北偏西 $ 67.5^{\circ} $,最东端(点 $ B $ 处)的方向角为北偏西 $ 30^{\circ} $. 已知此时海警船到直线 $ AB $ 的距离是 $ 2000 \, m $. 由以上数据,求该岛东西长度 $ AB $,并算出你的计算结果与实际长度的误差.(结果精确到 $ 1 \, m $. 参考数据：$ \sin 67.5^{\circ} \approx 0.924 $,$ \cos 67.5^{\circ} \approx 0.383 $,$ \tan 67.5^{\circ} \approx 2.414 $,$ \sqrt{3} \approx 1.732 $)
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答案： 解:由题意得∠ADC=67.5°,∠BDC=30°,CD=2000 m.在Rt△ADC中,AC=2000×tan67.5°≈4828(m).在Rt△BDC中,BC=2000×tan30°≈1155(m).
∴AB=AC - BC≈4828 - 1155=3673(m).误差为3673 - 3650=23(m).