《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

8. 如图,反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 的图象与一次函数 $ y = kx + b $ 的图象交于 $ A(m, 3) $,$ B(-3, n) $ 两点.
(1) 求该一次函数的表达式及 $ \triangle AOB $ 的面积；
(2) 根据图象直接写出不等式 $ \frac{3}{x} ＞ kx + b $ 的解集；
(3) 若点 $ P $ 是坐标轴上的一点,且满足 $ \triangle PAB $ 的面积等于 $ \triangle AOB $ 的面积的 $ 2 $ 倍,求点 $ P $ 的坐标.

答案： 8. 解:
(1)$\because$反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象与一次函数$y=kx+b$的图象交于$A(m,3),B(-3,n)$两点,$\therefore$将A与B的坐标代入$y=\frac{3}{x}$,得$m=1,n=-1$.$\therefore A(1,3),B(-3,-1)$.将A,B的坐标代入$y=kx+b$,得$\begin{cases} k+b=3, \\ -3k+b=-1. \end{cases}$解得$\begin{cases} k=1, \\ b=2. \end{cases}$$\therefore$该一次函数的表达式为$y=x+2$.$\because$直线$y=x+2$与x轴、y轴的交点坐标分别为$(-2,0),(0,2)$,$\therefore S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× 2× (1+3)=4$.
(2)不等式$\frac{3}{x}＞kx+b$的解集是$x＜-3$或$0＜x＜1$.
(3)$\because S_{\triangle AOB}=4$,$\therefore S_{\triangle PAB}=2S_{\triangle AOB}=8$.设$P_1(p,0)$,即$OP_1=|p+2|$.$S_{\triangle ABP_1}=S_{\triangle AP_1C}+S_{\triangle BP_1C}$$=\frac{1}{2}× |p+2|× 3+\frac{1}{2}|p+2|× 1=8$.解得$p=-6$或$p=2$. $\therefore P_1(-6,0),P_2(2,0)$.同理可得$P_3(0,6),P_4(0,-2)$.

9. 如图,直线 $ y = -x + 4 $,$ y = \frac{3}{4}x + b $ 都与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象交于点 $ A(1, m) $,这两条直线分别与 $ x $ 轴交于 $ B $,$ C $ 两点.
(1) 求该反比例函数的表达式；
(2) 直接写出当 $ x ＞ 0 $ 时,不等式 $ \frac{3}{4}x + b ＞ \frac{k}{x} $ 的解集；
(3) 若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上,连接 $ AP $,把 $ \triangle ABC $ 的面积分成 $ 1:3 $ 两部分,求此时点 $ P $ 的坐标.

答案： 9. 解:
(1)把A点的坐标代入$y=-x+4$,可得$m=-1+4=3$,$\therefore A(1,3)$.把A点的坐标代入$y=\frac{k}{x}$,可得$k=1× 3=3$.$\therefore$该反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$.
(2)$\because$A点的坐标为$(1,3)$,$\therefore$当$x＞0$时,不等式$\frac{3}{4}x+b＞\frac{k}{x}$的解集为$x＞1$.
(3)对于$y=-x+4$,令$y=0$,得$x=4$.$\therefore$点B的坐标为$(4,0)$.把A点的坐标代入$y=\frac{3}{4}x+b$,可得$3=\frac{3}{4}+b$.$\therefore b=\frac{9}{4}$,$\therefore y=\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$.令$y=0$,得$x=-3$,即$C(-3,0)$,$\therefore BC=7$.$\because AP$把$\triangle ABC$的面积分成$1:3$两部分,$\therefore CP=\frac{1}{4}BC=\frac{7}{4}$或$BP=\frac{1}{4}BC=\frac{7}{4}$.$\therefore OP=3-\frac{7}{4}=\frac{5}{4}$或$OP=4-\frac{7}{4}=\frac{9}{4}$.$\therefore$P点的坐标为$(-\frac{5}{4},0)$或$(\frac{9}{4},0)$.