《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

例 1 如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段 $ MN $,然后砌三面墙,围一个矩形花园 $ ABCD $(围墙 $ MN $ 最长可利用 $ 25 $ m). 现在已备足可以砌 $ 40 $ m 长的墙的材料.

(1)请你设计一种砌法,使矩形花园的面积为 $ 150 $ m^2.
(2)所围矩形花园的面积能否为 $ 210 $ m^2？为什么？
(3)当 $ AB $ 的长为多少时,矩形花园的面积最大？最大面积是多少？
【点拨】(1)设 $ BC = x $ m,可得 $ AB = CD = \frac{1}{2}(40 - x) $ m ($ x \leq 25 $),易得 $ \frac{1}{2}(40 - x)x = 150 $. 解得 $ x = 10 $ 或 $ 30 $(舍去 $ 30 $).
(2)由题意得 $ \frac{1}{2}(40 - x)x = 210 $. 化简得 $ x^2 - 40x + 420 = 0 $,$ \Delta = 1600 - 4 × 420 \lt 0 $,即可进行判断.
(3)矩形花园的面积 $ S = \frac{1}{2}(40 - x)x = -\frac{1}{2}x(x - 40)(x \leq 25) $,$ -\frac{1}{2} \lt 0 $,故 $ S $ 有最大值. 当 $ x = 20 $ 时,其最大值为 $ 200 $. 此时 $ AB = 10 $ m.
【解】(1)设 $ BC = x $ m,可得 $ AB = CD = \frac{1}{2}(40 - x) $ m ($ x \leq 25 $).
由题意得 $ \frac{1}{2}(40 - x)x = 150 $.
解得 $ x = 10 $ 或 $ 30 $(舍去 $ 30 $),
故 $ x = 10 $,即 $ BC = 10 $ m,$ AB = 15 $ m.
(2)由题意得 $ \frac{1}{2}(40 - x)x = 210 $.
化简得 $ x^2 - 40x + 420 = 0 $.
$ \Delta = 1600 - 4 × 420 \lt 0 $,
故所围矩形花园的面积不能为 $ 210 $ m^2.
(3)设 $ BC = x $ m,则 $ AB = CD = \frac{1}{2}(40 - x) $ m ($ x \leq 25 $).
故矩形花园的面积 $ S = \frac{1}{2}(40 - x)x = -\frac{1}{2}(x - 20)^2 + 200(x \leq 25) $.
$ \because -\frac{1}{2} \lt 0 $,$ \therefore S $ 有最大值.
当 $ x = 20 $ 时,$ S $ 的最大值为 $ 200 $ m^2.
此时 $ AB = 10 $ m.
$ \therefore $ 当 $ AB $ 的长为 $ 10 $ m 时,矩形花园的面积最大,最大面积是 $ 200 $ m^2.

答案：
(1)设$BC = x\ m$，则$AB = CD=\frac{40 - x}{2}\ m$（$x\leq25$）。由题意得$\frac{40 - x}{2}\cdot x=150$，整理得$x^2 - 40x + 300 = 0$，解得$x_1 = 10$，$x_2 = 30$（$30＞25$，舍去）。当$x = 10$时，$AB=\frac{40 - 10}{2}=15\ m$。故$BC = 10\ m$，$AB = 15\ m$。
(2)由题意得$\frac{40 - x}{2}\cdot x=210$，整理得$x^2 - 40x + 420 = 0$。$\Delta=(-40)^2-4×1×420=1600 - 1680=-80＜0$，方程无实数根，故不能。
(3)设$BC = x\ m$，面积$S=\frac{40 - x}{2}\cdot x=-\frac{1}{2}x^2 + 20x=-\frac{1}{2}(x - 20)^2 + 200$（$x\leq25$）。$\because-\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$当$x = 20$时，$S_{max}=200\ m^2$，此时$AB=\frac{40 - 20}{2}=10\ m$。故当$AB = 10\ m$时，最大面积为$200\ m^2$。

例 2 李大伯计划借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用 $ 20 $ m 长的篱笆围一个矩形菜园 $ ABCD $(篱笆只围 $ AB $,$ BC $ 两边). 设 $ AB = x $ m 时,菜园的面积为 $ y $ m^2.

(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(2)若在 $ P $ 处有一棵小树,它到墙 $ CD $,$ AD $ 的距离分别是 $ 12 $ m 和 $ 6 $ m,要将这棵小树围在菜园内(含边界,不考虑树的粗细),求菜园面积 $ y $ 的最大值.
【点拨】(1)根据矩形的面积公式表示出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.
(2)根据 $ P $ 处这棵小树到墙 $ CD $,$ AD $ 的距离分别是 $ 12 $ m 和 $ 6 $ m,求出 $ x $ 的取值范围,再根据(1)中的函数关系式及二次函数的性质即可得出结论.
【解】(1)由题意得 $ BC = 20 - x $,则
$ y = AB \cdot BC = x(20 - x) = -x^2 + 20x(0 \lt x \lt 20) $.
(2)$ \because y = -x^2 + 20x = -(x - 10)^2 + 100 $,且在 $ P $ 处的这棵小树到墙 $ CD $,$ AD $ 的距离分别是 $ 12 $ m 和 $ 6 $ m,
$ \therefore \begin{cases} x \geq 6 \\ 20 - x \geq 12 \end{cases} $. $ \therefore 6 \leq x \leq 8 $.
$ \because -1 \lt 0 $,在对称轴 $ x = 10 $ 的左侧 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,
$ \therefore $ 当 $ x = 8 $ 时,
$ y_{最大} = -(8 - 10)^2 + 100 = 96 $.
答：菜园面积的最大值是 $ 96 $ m^2.

答案：
(1)由题意得 $ BC = 20 - x $，则
$ y = AB \cdot BC = x(20 - x) = -x^2 + 20x $，其中 $ 0 ＜ x ＜ 20 $。
(2)由小树位置得：
$\begin{cases} x \geq 6 \\ 20 - x \geq 12 \end{cases}$，解得 $ 6 \leq x \leq 8 $。
$ y = -x^2 + 20x = -(x - 10)^2 + 100 $，
$\because -1 ＜ 0$，对称轴 $ x = 10 $，在 $ 6 \leq x \leq 8 $ 内 $ y $ 随 $ x $ 增大而增大，
$\therefore$ 当 $ x = 8 $ 时，$ y_{最大} = -(8 - 10)^2 + 100 = 96 $。
答：菜园面积的最大值是 $ 96 \, m^2 $。