《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

7. 如图,反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $($ m \neq 0 $)的图象经过点 $ (1, 4) $,一次函数 $ y = -x + b $ 的图象经过该反比例函数图象上的点 $ Q(-4, n) $。
(1)求该反比例函数与一次函数的表达式；
(2)该一次函数的图象分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与该反比例函数图象的另一个交点为 $ P $ 点,连接 $ OP $,$ OQ $,求 $ \triangle OPQ $ 的面积。

答案： 解:
(1)
∵反比例函数y = $\frac{m}{x}$(m≠0)的图象经过点(1,4),
∴4 = $\frac{m}{1}$.解得m = 4.
∴该反比例函数的表达式为y = $\frac{4}{x}$.
∵一次函数y = -x + b的图象与该反比例函数的图象交于点Q(-4,n),{n = $\frac{4}{-4}$, n = -(-4) + b},解得{n = -1, b = -5}.
∴该一次函数的表达式为y = -x - 5.
(2)由{y = $\frac{4}{x}$, y = -x - 5},解得{x = -4, y = -1}或{x = -1, y = -4}.
∴点P的坐标为(-1,-4).在一次函数y = -x - 5中,令y = 0,得 -x - 5 = 0.解得x = -5,故点A的坐标为(-5,0).
∴△OPQ的面积为S△OPQ = S△OPA - S△OAQ = $\frac{1}{2}$×5×4 - $\frac{1}{2}$×5×1 = 7.5.

8. 如图,反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $($ m \neq 0 $)的图象与一次函数 $ y = kx + b $($ k \neq 0 $)的图象交于 $ A $,$ B $ 两点,点 $ A $ 的坐标为 $ (2, 6) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (n, 1) $。
(1)求该反比例函数与一次函数的表达式；
(2)若点 $ E $ 为 $ y $ 轴上的一个动点,$ S_{\triangle AEB} = 5 $,求点 $ E $ 的坐标。

答案： 解:
(1)把点A的坐标代入y = $\frac{m}{x}$,得m = 12,则y = $\frac{12}{x}$.把点B的坐标代入y = $\frac{12}{x}$,得n = 1.
∴点B的坐标为(12,1).由直线y = kx + b过点A(2,6),点B(12,1),得{2k + b = 6, 12k + b = 1},解得{k = -$\frac{1}{2}$, b = 7}.
∴y = -$\frac{1}{2}$x + 7.
(2)如图，直线AB与y轴的交点为P,设点E的坐标为(0,m),连接AE,BE,则点P的坐标为(0,7),
∴PE = |m - 7|.
∵S△AEB = S△BEP - S△AEP = 5,
∴$\frac{1}{2}$×|m - 7|×(12 - 2) = 5.
∴|m - 7| = 1.解得m₁ = 6,m₂ = 8.
∴点E的坐标为(0,6)或(0,8).