《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

例 1 计算：$\sin 45^{\circ}\cdot \cos 45^{\circ}+\cos 60^{\circ}-\sin 30^{\circ}$.
【点拨】代入特殊角的三角函数值进行计算.

答案： 【解】
原式$=\sin 45^{\circ} × \cos 45^{\circ} + \cos 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$
$= \frac{2}{4} × \frac{1}{1}（或\frac{1}{2}） + 0$
$ = \frac{1}{2}$

例 2 如图,从山脚$A$处出发,沿与地面成$30^{\circ}角的山坡向上走到B$处. 若$AB = 80m$,求从$A到B上升的高度BC$.

【点拨】利用$\sin 30^{\circ}和AB的长即可求出BC$.

答案： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=80m。
∵sin∠BAC=BC/AB，
∴sin30°=BC/80，
∵sin30°=1/2，
∴1/2=BC/80，
∴BC=40m。
答：从A到B上升的高度BC为40m。

例 3 若$\alpha,\beta$均为锐角,且满足$\vert \sin \alpha-\frac{1}{2}\vert+\sqrt{\tan \beta - 1}= 0$,求$\alpha+\beta$的值.
【点拨】根据题意可得$\sin \alpha-\frac{1}{2}和\tan \beta - 1同时为0$.

答案： 答题卡：
由题意得$\vert \sin \alpha-\frac{1}{2}\vert+\sqrt{\tan \beta - 1}= 0$，
因为绝对值和平方根都是非负数，
所以要使上述等式成立，必须有：
$\sin \alpha - \frac{1}{2} = 0$，
$\tan \beta - 1 = 0$。
从$\sin \alpha - \frac{1}{2} = 0$，
得$\sin \alpha = \frac{1}{2}$，
因为$\alpha$为锐角，
所以$\alpha = 30^{\circ}$。
从$\tan \beta - 1 = 0$，
得$\tan \beta = 1$，
因为$\beta$为锐角，
所以$\beta = 45^{\circ}$。
所以$\alpha + \beta = 30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$。
故答案为：$75^{\circ}$。

1. $2\sin 60^{\circ}$的值为(C)
A.$1$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2$

答案： C

2. 计算$2\sin 30^{\circ}-\sin^{2}45^{\circ}+\tan 30^{\circ}$的结果是(B)
A.$\frac{1}{2}+3\sqrt{3}$
B.$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\sqrt{3}+\sqrt{2}$
D.$1-\sqrt{3}+\sqrt{2}$

答案： B

3. 在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$. 若$\cos A= \frac{\sqrt{3}}{2}$,则$\sin A$的值是(D)
A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： D

4. 计算：$\sqrt{3}\cos 45^{\circ}+\sqrt{2}\tan 60^{\circ}=$$\frac{3\sqrt{6}}{2}$.

答案： $\frac{3\sqrt{6}}{2}$

5. 在$\triangle ABC$中,若$\cos A= \frac{\sqrt{3}}{2},\tan B= \sqrt{3}$,则$\angle C= $90°.

答案： 90°

6. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle BCA = 90^{\circ},\cos A= \frac{1}{2}$,求$\sin^{2}A\cdot \tan A$的值.

答案： 解:
∵$\cos A=\frac{1}{2}$,
∴∠A=60°,
∴$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan A=\sqrt{3}$,
∴$\sin^2 A\cdot\tan A=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2×\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$.