《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

例1
将抛物线$ y = x^2 + bx + c $先向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线$ y = (x - 1)^2 - 4 ,$试求 b , c 的值。
【点拨】先确定平移后的抛物线的顶点坐标,然后根据“向右平移横坐标加、向下平移纵坐标减”,求出平移前的抛物线的顶点坐标,据此写出平移前的抛物线的函数表达式,即可得到 b , c 的值。

答案： 答题卡：
由题知，抛物线 $y=(x-1)^2-4$ 的顶点坐标为 $(1,-4)$，
该顶点坐标是由抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的顶点先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到的，
将顶点坐标 $(1, -4)$ 向左平移 2 个单位，得到横坐标 $1-2=-1$，
将顶点坐标 $(1, -4)$ 向上平移 3 个单位，得到纵坐标 $-4 + 3 = -1$，
所以平移前抛物线的顶点坐标为 $(-1, -1)$，
因此平移前抛物线为：$y=(x+1)^2-1$，
展开得：$y=x^2+2x+1-1$，
即：$y=x^2+2x$，
所以 $b=2$，$c=0$。
结论：$b=2$，$c=0$。

例2
画出二次函数 $ y = -x^2 + 3x - 2 $ 的图象,并根据图象回答问题：
(1) 当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？当 $ x $ 取何值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？
(2) 函数 $ y $ 有最大值还是最小值？最值是多少？
(3) 当 $ y ＞ 0 $,$ y = 0 $,$ y ＜ 0 $ 时,$ x $ 的取值范围分别是什么？
【点拨】根据二次函数的表达式,可得相应抛物线的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点。据此可画出该函数的图象。

答案：
【解】
$y = -x^2 + 3x - 2 = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} = -(x - 2)(x - 1)$，
函数图象的顶点为$\left(\frac{3}{2},\frac{1}{4}\right)$，
对称轴为直线$x = \frac{3}{2}$，
与$x$轴的交点为$(2,0)$，$(1,0)$，
与$y$轴的交点为$(0,-2)$。
(1) 对称轴为直线$x = \frac{3}{2}$，图象开口向下，
当$x ＜ \frac{3}{2}$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x ＞ \frac{3}{2}$时，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 函数$y$有最大值，最大值为$\frac{1}{4}$。
(3) 当$y = 0$时，$x = 1$或$x = 2$；
当$y ＞ 0$时，$1 ＜ x ＜ 2$；
当$y ＜ 0$时，$x ＜ 1$或$x ＞ 2$。

1. 将抛物线 $ y = -2(x - 3)^2 - 2 $ 先向左平移4个单位,再向下平移1个单位,得到抛物线(A)
A.$ y = -2(x + 1)^2 - 3 $
B.$ y = -2(x + 1)^2 - 1 $
C.$ y = -2(x - 1)^2 - 3 $
D.$ y = -2(x - 1)^2 + 1 $

答案： A