《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

3. 将抛物线 $ y = -x^2 $ 向右平移 $ 2 $ 个单位得到抛物线y=-(x-2)².

答案： y=-(x-2)²

4. 将抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 向左平移 $ 2 $ 个单位得到抛物线 $ y = 2(x + 5)^2 $,则 $ a = $2,$ h = $-3.

答案： 2 -3

例 1 如图,已知抛物线 $ y = x^2 - (m + 3)x + 9 $ 的顶点 $ C $ 在 $ x $ 轴正半轴上,一次函数 $ y = x + 3 $ 的图象与该抛物线交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ D $,$ E $ 两点.

(1)求 $ m $ 的值；
(2)求 $ A $,$ B $ 两点的坐标.
【点拨】(1)由抛物线 $ y = x^2 - (m + 3)x + 9 $ 的顶点 $ C $ 在 $ x $ 轴正半轴上,得该抛物线与 $ x $ 轴只有一个交点,则 $ \Delta = 0 $. 据此求 $ m $ 的值.
(2)联立抛物线对应的函数表达式与一次函数的表达式,求 $ A $,$ B $ 两点的坐标.

答案：
(1)
∵抛物线顶点在x轴正半轴上，
∴抛物线与x轴只有一个交点且顶点横坐标大于0。
对于抛物线$y=x^2-(m+3)x+9$，$\Delta=(m+3)^2-4×1×9=0$，
即$(m+3)^2=36$，解得$m+3=\pm6$，$m=3$或$m=-9$。
顶点横坐标为$-\frac{-(m+3)}{2}=\frac{m+3}{2}＞0$，
∴$m+3＞0$，$m＞-3$，
∴$m=3$。
(2) 由
(1)得抛物线表达式为$y=x^2-6x+9$。
联立$\begin{cases}y=x^2-6x+9\\y=x+3\end{cases}$，
$x^2-6x+9=x+3$，$x^2-7x+6=0$，$(x-1)(x-6)=0$，
解得$x=1$或$x=6$。
当$x=1$时，$y=4$；当$x=6$时，$y=9$。
由图知A点横坐标小于B点横坐标，
∴$A(1,4)$，$B(6,9)$。

例 2 如图,在平面直角坐标系中,已知点 $ A(0, 12) $,$ B(6, 0) $. 将抛物线 $ y = x^2 $ 沿 $ O \to B $ 的方向进行平移. 平移后的抛物线顶点为 $ B $,与直线 $ AB $ 的另一个交点为 $ M $.

(1)直线 $ AB $ 对应的函数表达式为 $ y_1 = $$-2x + 12$,平移后的抛物线对应的函数表达式为 $ y_2 = $$(x - 6)^2$；
(2)求 $ y_1 ＜ y_2 $ 时 $ x $ 的取值范围.
【点拨】(1)设 $ y_1 = kx + b $,利用待定系数法可求得直线 $ AB $ 对应的函数表达式. 根据平移的性质,可求得平移后的抛物线对应的函数表达式.
(2)联立两个方程,解方程组即可求得交点的坐标. 根据交点的坐标和函数的图象,可求得 $ x $ 的取值范围.

(2)联立$\begin{cases}y = -2x + 12 \\ y=(x - 6)^2\end{cases}$，即$(x - 6)^2=-2x + 12$，展开得$x^2 - 12x + 36 = -2x + 12$，整理得$x^2 - 10x + 24 = 0$，因式分解$(x - 4)(x - 6)=0$，解得$x_1 = 4$，$x_2 = 6$。
当$x = 4$时，$y = -2×4 + 12 = 4$，所以交点为$B(6,0)$，$M(4,4)$。
由函数图象可知，当$y_1 ＜ y_2$时，$x ＜ 4$或$x ＞ 6$。

答案：
(1)设直线$AB$的函数表达式为$y_1 = kx + b$，将$A(0,12)$，$B(6,0)$代入，得$\begin{cases}b = 12 \\ 6k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2 \\ b = 12\end{cases}$，所以$y_1 = -2x + 12$。
抛物线$y = x^2$的顶点为$(0,0)$，沿$O \to B$方向平移后顶点为$B(6,0)$，即向右平移$6$个单位，所以平移后的抛物线表达式为$y_2=(x - 6)^2$。
(2)联立$\begin{cases}y = -2x + 12 \\ y=(x - 6)^2\end{cases}$，即$(x - 6)^2=-2x + 12$，展开得$x^2 - 12x + 36 = -2x + 12$，整理得$x^2 - 10x + 24 = 0$，因式分解$(x - 4)(x - 6)=0$，解得$x_1 = 4$，$x_2 = 6$。
当$x = 4$时，$y = -2×4 + 12 = 4$，所以交点为$B(6,0)$，$M(4,4)$。
由函数图象可知，当$y_1 ＜ y_2$时，$x ＜ 4$或$x ＞ 6$。
(1)$-2x + 12$；$(x - 6)^2$
(2)$x ＜ 4$或$x ＞ 6$