《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

例1
如图,一个横截面为抛物线形的隧道底部宽 $ 12 m $,高 $ 6 m $.车辆双向通行.若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘 $ 2 m $ 的范围内行使,并保持车辆顶部与隧道有不少于 $ \frac{1}{3} m $ 的空隙,则通过隧道车辆的高度限制应为多少米？

【点拨】建立适当的平面直角坐标系,根据图中数据求出抛物线对应的函数表达式,再进行求解即可.

答案：
建立平面直角坐标系，设抛物线顶点为$A(0,6)$，隧道底部端点$B(6,0)$。

设抛物线函数表达式为$y = ax^2 + 6$，将$B(6,0)$代入得：$0 = a×6^2 + 6$，解得$a=-\frac{1}{6}$，故抛物线表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2 + 6$。
车辆需在中心线两侧距离道路边缘$2m$范围内行驶，道路底部宽$12m$，单侧道路宽$6m$，则车辆行驶区域的$x$坐标为$x = 6 - 2 = 4$（或$x=-4$）。
当$x = 4$时，$y=-\frac{1}{6}×4^2 + 6=-\frac{16}{6}+6=\frac{10}{3}$。
车辆顶部与隧道需保持不少于$\frac{1}{3}m$空隙，故车辆高度限制为$\frac{10}{3}-\frac{1}{3}=3m$。
通过隧道车辆的高度限制应为$3$米。

例2
如图,某公园在中央广场上建了一个人工喷泉.已知人工喷泉有一个竖直的喷水设备 $ AB $,喷水口 $ A $ 距地面 $ 2 m $,喷出水流的运动路线是抛物线.如果水流的最高点 $ P $ 到喷水设备 $ AB $ 所在直线的距离为 $ 1 m $,且到地面的距离为 $ 3.6 m $,求水流的落地点 $ C $ 到喷水设备底部 $ B $ 的距离.

【点拨】建立以 $ BC $ 所在直线为 $ x $ 轴,以 $ AB $ 所在直线为 $ y $ 轴的直角坐标系.根据顶点 $ P(1,3.6) $,设其表达式为 $ y = a(x - 1)^2 + 3.6 $.把 $ A $ 点的坐标代入求得 $ a $ 的值,据此可得函数表达式.求得 $ y = 0 $ 时 $ x $ 的值可得答案.

答案：
以$BC$所在直线为$x$轴，以$AB$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系。

由题意知抛物线顶点$P$的坐标为$(1,3.6)$，点$A$的坐标为$(0,2)$，设抛物线对应的函数表达式为$y = a(x - 1)^2 + 3.6$。
将点$A(0,2)$代入$y = a(x - 1)^2 + 3.6$，得$a + 3.6 = 2$，解得$a = -1.6$。
所以抛物线表达式为$y = -1.6(x - 1)^2 + 3.6$。
当$y = 0$时，$-1.6(x - 1)^2 + 3.6 = 0$，即$(x - 1)^2=\frac{3.6}{1.6}=\frac{9}{4}$，解得$x = -0.5$（舍）或$x = 2.5$。
所以$BC = 2.5m$，即水流的落地点$C$到喷水设备底部$B$的距离为$2.5m$。