《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

例 2 悬索桥,又名吊桥,其缆索的形状一般近似于抛物线。从缆索垂下许多吊杆(吊杆垂直于桥面),把桥面吊住。某悬索桥(图 1)是连接甲、乙两个地区的重要通道。图 2 是该悬索桥的示意图。小明通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索(即图 2 中桥上方的曲线)的形状近似于抛物线,两端的索塔在桥面以上部分高度相同,即 $ AB = CD $,两个索塔均与桥面垂直。主桥 $ AC $ 的长为 $ 600 \, m $,引桥 $ CE $ 的长为 $ 124 \, m $。缆索最低处的吊杆 $ MN $ 长 $ 3 \, m $,桥面上与点 $ M $ 相距 $ 100 \, m $ 的吊杆 $ PQ $ 长 $ 13 \, m $。若将缆索的形状视为抛物线,请你根据小明获得的信息,建立适当的平面直角坐标系,求索塔顶端 $ D $ 与锚点 $ E $ 之间的距离。
【点拨】 建立平面直角坐标系并求得抛物线对应的函数表达式,令 $ x = 300 $ 求得 $ DC $ 的长,然后利用勾股定理求得 $ DE $ 的长。

答案：
以$M$为原点，$MC$所在直线为$x$轴，$MN$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系。

已知$MN = 3m$，$PQ = 13m$，$MP = 100m$，则$M(0,0)$，$N(0,3)$，$Q(100,13)$。
设抛物线的函数表达式为$y = ax^{2}+3$，把$Q(100,13)$代入$y = ax^{2}+3$得：
$13=a×100^{2}+3$，
$10000a = 10$，
解得$a=\frac{1}{1000}$。
所以抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{1000}x^{2}+3$。
当$x = 300$时，$y=\frac{1}{1000}×300^{2}+3=90 + 3=93$，即$DC = 93m$。
因为$CE = 124m$，$\angle DCE = 90^{\circ}$，根据勾股定理$DE=\sqrt{DC^{2}+CE^{2}}=\sqrt{93^{2}+124^{2}}=\sqrt{(3×31)^{2}+(4×31)^{2}}=5×31 = 155m$。
答：索塔顶端$D$与锚点$E$之间的距离为$155m$。