《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

8. 某商品的进价为每件 30 元,现在的售价为每件 40 元,每星期可卖出 150 件. 经市场调查,发现：如果每件的售价每涨 1 元(每件的售价不能高于 45 元),那么每星期少卖 10 件. 设每件涨价 $ x $ 元($ x $ 为非负整数),每星期的销量为 $ y $ 件.
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式及自变量 $ x $ 的取值范围；
(2)设每星期的利润为 $ W $ 元,求 $ W $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.

答案： 解:
(1)由题意得y = 150 - 10x = -10x + 150,其中0 ≤ x ≤ 5,且x为整数.
(2)由题意得W = (x + 40 - 30)×(150 - 10x)= -10x² + 50x + 1500.

9. 将等边 $ \triangle ABC $ 和 $ Rt\triangle DEF $ 按如图所示的方式放置,点 $ B $,$ D $ 重合,点 $ E $,$ B(D) $,$ C $ 在同一条直线上,且 $ \angle E = 90° $,$ \angle EDF = 30° $,$ AB = DE = 6\sqrt{3} $. 现将 $ \triangle DEF $ 沿直线 $ BC $ 以每秒 $ \sqrt{3} $ 个单位的速度向右平移,直至 $ E $ 点与 $ C $ 点重合时停止运动. 设运动时间为 $ t $ s.
(1)试求平移过程中,点 $ F $ 落在 $ \triangle ABC $ 的边上时 $ t $ 的值；
(2)试求平移过程中,$ \triangle ABC $ 和 $ Rt\triangle DEF $ 重叠部分的面积 $ S $ 与 $ t $ 之间的函数关系式.

答案：
解:
(1)当F在边AB上时,如图1所示,作AM⊥BC,则AM = $\frac{\sqrt{3}}{2}$AB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$×6$\sqrt{3}$ = 9.
∵AM⊥BC,∠FEB = 90°,
∴EF//AM,
∴△BEF∽△BMA.
∴$\frac{BE}{BM}$ = $\frac{EF}{AM}$,即$\frac{BE}{3\sqrt{3}}$ = $\frac{6}{9}$.解得BE = 2$\sqrt{3}$.
∴移动的距离为6$\sqrt{3}$ + 2$\sqrt{3}$ = 8$\sqrt{3}$,则t = $\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = 8(s). 当F在AC上时,如图2所示. 同理可得EC = 2$\sqrt{3}$,则移动的距离为2×6$\sqrt{3}$ - 2$\sqrt{3}$ = 12$\sqrt{3}$ - 2$\sqrt{3}$ = 10$\sqrt{3}$,则t = $\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ = 10(s). 故t的值为8或10.
(2)当0 ＜ t ≤ 6时,重叠部分是△BND,如图3所示.设AB与DF交于点N,则 BD = $\sqrt{3}$t,NB = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{\sqrt{3}}{2}$t, ND = $\frac{\sqrt{3}}{2}$BD = $\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$t = $\frac{3}{2}$t, S = $\frac{1}{2}$NB·ND = $\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t×$\frac{3}{2}$t = $\frac{3\sqrt{3}}{8}$t². 当6 ＜ t ≤ 8时,重叠部分为五边形MNQCE,如图4所示. S五边形MNQCE = S△FED - S△ANF - S△D = 18$\sqrt{3}$ - $\frac{1}{2}$[6 - $\sqrt{3}$($\sqrt{3}$t - 6$\sqrt{3}$)]·$\frac{1}{2}$·$\frac{\sqrt{3}}{2}$[6 - $\sqrt{3}$($\sqrt{3}$t - 6$\sqrt{3}$)] - $\frac{1}{2}$($\sqrt{3}$t - 6$\sqrt{3}$)·$\frac{\sqrt{3}}{2}$($\sqrt{3}$t - 6$\sqrt{3}$)= -$\frac{15\sqrt{3}}{8}$t² + 27$\sqrt{3}$t - 81$\sqrt{3}$ 当8 ＜ t ≤ 10时,重叠部分是四边形EFMC,如图5所示. S = S四边形EFMC = S△EDF - S△CDM = 18$\sqrt{3}$ - $\frac{1}{2}$($\sqrt{3}$t - 6$\sqrt{3}$)·$\frac{\sqrt{3}}{2}$($\sqrt{3}$t - 6$\sqrt{3}$)= -$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t² + 9$\sqrt{3}$t - 9$\sqrt{3}$ 当10 ＜ t ≤ 12时,重叠部分为△MCE,如图6所示. S = S△EMC = $\frac{1}{2}$[6$\sqrt{3}$ - ($\sqrt{3}$t - 6$\sqrt{3}$)]·$\sqrt{3}$[6$\sqrt{3}$ - ($\sqrt{3}$t - 6$\sqrt{3}$)] = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$t² - 36$\sqrt{3}$t + 216$\sqrt{3}$ 综上所述,可得 S = $\begin{cases} \frac{3\sqrt{3}}{8}t²(0 ＜ t ≤ 6) \\ -\frac{15\sqrt{3}}{8}t² + 27\sqrt{3}t - 81\sqrt{3}(6 ＜ t ≤ 8) \\ -\frac{3\sqrt{3}}{4}t² + 9\sqrt{3}t - 9\sqrt{3}(8 ＜ t ≤ 10) \\ \frac{3\sqrt{3}}{2}t² - 36\sqrt{3}t + 216\sqrt{3}(10 ＜ t ≤ 12) \end{cases}$