《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

9. 二次函数 $ y = (x + m)^2 + k $ 的图象如图所示,其顶点 $ M $ 的坐标为 $ (1,-4) $。
(1) 求该图象与 $ x $ 轴的交点 $ A $,$ B $ 的坐标；
(2) 在该图象上是否存在点 $ P $,使 $ S_{\triangle PAB} = \frac{5}{4}S_{\triangle MAB} $？若存在,求点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案： 解:
(1)
∵M(1,-4)是二次函数$y=(x+m)^2+k$的图象的顶点,
∴$y=(x-1)^2-4=x^2-2x-3$.
令$y=0$,得$x^2-2x-3=0$.解得$x_1=-1$,$x_2=3$.
∴点A,B的坐标分别为$(-1,0)$,$(3,0)$.
(2)在该图象上存在点P,使$S_{\triangle PAB}=\frac{5}{4}S_{\triangle MAB}$.
设P$(x,y)$,则
$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot|y|=2|y|$.
又
∵$S_{\triangle MAB}=\frac{1}{2}\cdot|AB|×|-4|=8$,
$S_{\triangle PAB}=\frac{5}{4}S_{\triangle MAB}$,
∴$2|y|=\frac{5}{4}×8$,
∴$y=\pm5$.
∵该二次函数的最小值为-4,
∴$y=5$.
当$y=5$时,$x=-2$或$x=4$.
∴P点的坐标为$(-2,5)$或$(4,5)$.

1. 如图,若 $ a ＜ 0 $,$ b ＜ 0 $,$ c ＜ 0 $,则抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的大致图象为(D)

答案： D

2. 如图,抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 的对称轴是 $ x = 1 $. 给出下列结论：① $ abc ＞ 0 $；② $ 2a - b = 0 $；③ $ 4a + 2b + c ＞ 0 $；④ $ b^{2}-4ac ＞ 0 $. 其中,错误的结论有(B)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： B