《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

9. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y = - x的图象与反比例函数y = \frac{k}{x}$的图象交于A,B两点.
(1)求k的值；
(2)点P在y轴上,且满足以点A,B,P为顶点的三角形是直角三角形,试写出点P所有可能的坐标.

答案： 解:
(1)把x=-1代入y=-x,得y=1,故A(-1,1).
∵反比例函数y=k/x的图象过点A,
∴k=-1×1=-1.
(2)点P所有可能的坐标:(0,√2),(0,-√2),(0,2),(0,-2).

1. 下列函数中,是二次函数的有(A)
① $ y = x + \frac{1}{x} $；② $ y = 3(x - 1)^2 + 2 $；③ $ y = (x + 3)^2 - x^2 $；④ $ y = \frac{1}{x^2} + x $.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： A

2. 若 $ y = (m + 1)x^{m^2 - m} - 3x + 1 $ 是二次函数,则 $ m $ 的值为2.

答案： 2

3. 二次函数 $ y = 3x - 5x^2 + 1 $ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为-5,3,1.

答案： -5,3,1

4. 二次函数 $ y = 2x(x - 3) $ 的二次项系数与一次项系数的和为(D)
A.2
B.-2
C.-1
D.-4

答案： D

例 1 已知直角三角形的一条直角边为 $ x $ cm,两条直角边的和为 7 cm,面积为 $ y $ $ cm^2 $,写出变量 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式及自变量 $ x $ 的取值范围,并说明这个函数是不是二次函数.
【点拨】根据直角三角形的面积公式可得 $ y = \frac{1}{2}x(7 - x) $,再由两条直角边的和为 7 cm 可得 $ x $ 的取值范围,然后利用二次函数的定义判断这个函数是否为二次函数.

答案： 由题意得，另一条直角边为$(7 - x)\ cm$，根据直角三角形面积公式可得：
$y = \frac{1}{2}x(7 - x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{7}{2}x$
因为直角边长度为正数，所以自变量$x$的取值范围是$0 ＜ x ＜ 7$。
此函数符合二次函数的一般形式$y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），其中$a = -\frac{1}{2}$，$b = \frac{7}{2}$，$c = 0$，所以这个函数是二次函数。
函数关系式：$y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{7}{2}x$；自变量取值范围：$0 ＜ x ＜ 7$；是二次函数。