《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

8. 如图,沿 $ AE $ 折叠矩形纸片 $ ABCD $,使点 $ D $ 落在 $ BC $ 边的点 $ F $ 处。已知 $ AB = 8 $, $ BC = 10 $,求 $ \tan \angle EFC $ 的值。
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答案： 解:根据题意可得,Rt△ABF中,AB=8,AF=AD=10,故BF=6.由同角的余角相等,可得∠BAF=∠CFE,故tan∠EFC=tan∠BAF=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$.

9. 如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ \angle A = 30^{\circ} $, $ E $ 为 $ AB $ 上一点,且 $ AE:EB = 4:1 $, $ EF \perp AC $ 于点 $ F $,连接 $ FB $,求 $ \tan \angle CFB $ 的值。
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答案： 解:设BC=x.
∵∠A=30°,
∴AC=$\sqrt{3}$x,AB=2x.又
∵AE:EB=4:1,EF//BC,
∴FC=$\frac{1}{5}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{5}$x.在Rt△BFC中,tan∠CFB=$\frac{BC}{FC}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

1. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \cos B = \frac{4}{5} $,则 $ AC:BC:AB = $(A)
A.$ 3:4:5 $
B.$ 5:3:4 $
C.$ 4:3:5 $
D.$ 3:5:4 $

答案： A

2. 在等腰 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC = 5 $,$ BC = 6 $,则 $ \sin B $ 的值是(C)
A.$ \frac{3}{5} $
B.$ \frac{3}{4} $
C.$ \frac{4}{5} $
D.$ \frac{4}{3} $

答案： C

3. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AB = 2BC $,则 $ \sin B $ 的值为(C)
A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $
D.$ 1 $

答案： C

4. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,且 $ AB = 6 $. 若 $ \cos B = \frac{1}{3} $,则 $ BC $ 的长为2.

答案： 2

例1 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $. 如果 $ \tan A = \frac{4}{3} $,求 $ \sin A $,$ \cos A $ 的值.
【点拨】运用正切的意义和勾股定理,表示出 $ Rt \triangle ABC $ 三边的关系,根据正弦、余弦的定义求解.

答案： 在$ Rt \triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，
由$\tan A = \frac{4}{3}$，
设$BC = 4k$，$AC = 3k$，其中$k ＞ 0$。
利用勾股定理，$AB = \sqrt{BC^{2} + AC^{2}} = \sqrt{(4k)^{2} + (3k)^{2}} = 5k$。
根据正弦和余弦的定义，
$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}$，
$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$。
故$\sin A = \frac{4}{5}$，$\cos A = \frac{3}{5}$。