《2025年初中同步练习册九年级数学上册鲁教版54制山东科学技术出版社》

1. 某抛物线的顶点坐标为 $(1,-4)$,与 $ y $ 轴交于点 $(0,-3)$,则该抛物线对应的函数表达式为(A)
A.$ y = x^2 - 2x - 3 $
B.$ y = x^2 + 2x - 3 $
C.$ y = x^2 - 2x + 3 $
D.$ y = 2x^2 - 3x - 3 $

答案： A

2. 若抛物线 $ y = (m + 1)x^2 - 2x + m^2 - 1 $ 经过原点,则 $ m $ 的值为(B)
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ -1 $
D.$ \pm 1 $

答案： B

3. 某二次函数的图象如图所示,则该二次函数的表达式是(D)

A.$ y = x^2 - x - 2 $
B.$ y = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 2 $
C.$ y = -\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 1 $
D.$ y = -x^2 + x + 2 $

答案： D

4. 写出一个图象开口向上,且顶点坐标为 $(-1,2)$ 的二次函数的表达式：$ y=(x+1)^2+2 $（答案不唯一）。

答案： $ y=(x+1)^2+2 $（答案不唯一）

5. 二次函数 $ y = -x^2 + 2mx - m^2 + 1 $ 的图象的对称轴是直线 $ x = 1 $,则该二次函数的表达式为$ y=-x^2+2x-1 $,该二次函数的最大值是______。

答案： $ y=-x^2+2x-1 $

6. 某二次函数图象的顶点坐标为 $(1,-\frac{9}{2})$,且经过点 $(-2,1)$,求该二次函数的表达式。

答案： 解：
∵该二次函数图象的顶点坐标为$ (1,-\frac{9}{2}) $，
∴可设其表达式为$ y=a(x-1)^2-\frac{9}{2} $.
∵该函数图象经过点$ (-2,1) $，
∴$ 9a-\frac{9}{2}=1 $，
∴$ a=\frac{11}{18} $.
∴该二次函数的表达式为$ y=\frac{11}{18}(x-1)^2-\frac{9}{2} $.

7. 如图,抛物线 $ y = ax^2 + bx(a ＞ 0) $ 经过原点 $ O $,$ A(2,0) $,$ B(-1,2) $ 三点。
(1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)点 $(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$ 在该抛物线上,若 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 1 $,比较 $ y_1 $,$ y_2 $ 的大小；
(3)点 $ C $ 与点 $ B $ 关于该抛物线的对称轴对称,求直线 $ AC $ 的函数表达式。

答案： 解：
(1)
∵抛物线$ y=ax^2+bx(a＞0) $经过原点O，
A(2,0)，B(-1,2)三点，
∴$ \begin{cases} 4a+2b=0, \\ a-b=2, \end{cases} $
∴$ a=\frac{2}{3},b=-\frac{4}{3} $.
∴$ y=\frac{2}{3}x^2-\frac{4}{3}x=\frac{2}{3}(x-1)^2-\frac{2}{3} $.
∴该抛物线的对称轴为直线$ x=1 $，顶点坐标为$ (1,-\frac{2}{3}) $.
(2)
∵该抛物线开口向上，对称轴为直线$ x=1 $，
∴当$ x＜1 $时，y随x的增大而减小.
而$ x_1＜x_2＜1 $，故$ y_1＞y_2 $.
(3)
∵点B(-1,2)在该抛物线上，点C与点B关于该抛物线的对称轴$ x=1 $对称，
∴点C的坐标为(3,2).
设直线AC的函数表达式为$ y=kx+m $，则
$ \begin{cases} 2k+m=0, \\ 3k+m=2. \end{cases} $解得$ \begin{cases} k=2, \\ m=-4. \end{cases} $
∴直线AC的函数表达式为$ y=2x-4 $.