《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

1.(2024·吉林)下列方程中,有两个相等实数根的是 (B)
A.$(x-2)^{2}+1= 0$
B.$(x-2)^{2}= 0$
C.$(x-2)^{2}-1= 0$
D.$(x-2)^{2}-2= 0$

答案： B

2.(中考·河南)关于x的方程$x^{2}+mx-8= 0$实数根的情况,下列判断正确的是 (A)
A.有两个不相等实数根
B.有两个相等实数根
C.有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

3.【新中考·新运算型阅读理解题】对于实数a,b定义运算“$\otimes$”为$a\otimes b= b^{2}-ab$,例如$3\otimes 2= 2^{2}-3×2= -2$,则关于x的方程$(k-3)\otimes x= k-1$的根的情况,下列说法正确的是 (A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定

答案： A

4.【整体思想】关于x的方程$x^{2}+bx+c= 0$有两个相等的实数根,则$b^{2}-2(1+2c)$的值是 (A)
A.-2
B.2
C.-4
D.4

答案： A

5.(1)(2025·长春模拟)若一元二次方程$kx^{2}+4x-1= 0$有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是 (D)
A.$k＞-4$ B.$k＜4$
C.$k＜4且k≠0$ D.$k＞-4且k≠0$
(2)【T5(1)变式】若关于x的方程$kx^{2}-6x+9= 0$有实数解,则k的取值范围是 (D)
A.$k＜1且k≠0$ B.$k＜1$
C.$k≤1且k≠0$ D.$k≤1$
【点拨】由于方程类型不明确,故分两种情况讨论:①一元一次方程;②一元二次方程.

答案：
(1)D
(2)D

6.【数形结合思想】函数$y= kx+b$的图象如图所示,则关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+k-1= 0$的根的情况是 (C)

A.没有实数根

B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

答案： C

7.已知一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k= 0$.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若$\triangle ABC$的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长是5,当$\triangle ABC$是等腰三角形时,求k的值.

答案：
(1)证明:
∵Δ=b²-4ac=[-(2k+1)]²-4(k²+k)=1＞0,
∴方程有两个不相等的实数根;
(2)由
(1)知AB≠AC,所以当△ABC是等腰三角形时,则有AB=BC或AC=BC,即5是原方程的一个根,把x=5代入方程,得25-5(2k+1)+k²+k=0.化简,得k²-9k+20=0.解得k₁=4,k₂=5.