《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

1. 如图,抛物线$y= x^{2}+bx+c$与x轴交于$A(-1,0),B(3,0)$两点,与y轴交于点C.
(1)该抛物线的解析式是______$y=x^{2}-2x-3$;
(2)点P是对称轴上一点,若$\triangle PBC$是直角三角形,求点P的坐标.解:C的坐标是$(0,-3)$,对称轴是直线$x=1$,设$P(1,m)$,则$BC^{2}=3^{2}+3^{2}=18$,$BP^{2}=(3-1)^{2}+(0-m)^{2}=m^{2}+4$,$CP^{2}=1^{2}+(m+3)^{2}=m^{2}+6m+10$.①当$∠BCP=90^{\circ}$时,$BC^{2}+CP^{2}=BP^{2}$.$\therefore 18+m^{2}+6m+10=m^{2}+4$.解得$m=-4$.$\therefore$点P坐标是$(1,-4)$;②当$∠PBC=90^{\circ}$时,$BP^{2}+BC^{2}=PC^{2}$.$\therefore m^{2}+4+18=m^{2}+6m+10$.解得$m=2$.$\therefore$点P坐标是$(1,2)$;③当$∠BPC=90^{\circ}$时,$CP^{2}+BP^{2}=BC^{2}$.$\therefore m^{2}+6m+10+m^{2}+4=18$.$\therefore m_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$,$m_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$.$\therefore$点P的坐标是$(1,\frac{-3+\sqrt{17}}{2})$或$(1,\frac{-3-\sqrt{17}}{2})$.$\therefore$综上所述，点P的坐标是$(1,-4)$或$(1,2)$或$(1,\frac{-3+\sqrt{17}}{2})$或$(1,\frac{-3-\sqrt{17}}{2})$.

答案：
(1)$y=x^{2}-2x-3$ 解:
(2)C的坐标是$(0,-3)$,对称轴是直线$x=1$,设$P(1,m)$,则$BC^{2}=3^{2}+3^{2}=18$,$BP^{2}=(3-1)^{2}+(0-m)^{2}=m^{2}+4$,$CP^{2}=1^{2}+(m+3)^{2}=m^{2}+6m+10$.①当$∠BCP=90^{\circ}$时,$BC^{2}+CP^{2}=BP^{2}$.$\therefore 18+m^{2}+6m+10=m^{2}+4$.解得$m=-4$.$\therefore$点P坐标是$(1,-4)$;②当$∠PBC=90^{\circ}$时,$BP^{2}+BC^{2}=PC^{2}$.$\therefore m^{2}+4+18=m^{2}+6m+10$.解得$m=2$.$\therefore$点P坐标是$(1,2)$;③当$∠BPC=90^{\circ}$时,$CP^{2}+BP^{2}=BC^{2}$.$\therefore m^{2}+6m+10+m^{2}+4=18$.$\therefore m_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$,$m_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$.$\therefore$点P的坐标是$(1,\frac{-3+\sqrt{17}}{2})$或$(1,\frac{-3-\sqrt{17}}{2})$.$\therefore$综上所述，点P的坐标是$(1,-4)$或$(1,2)$或$(1,\frac{-3+\sqrt{17}}{2})$或$(1,\frac{-3-\sqrt{17}}{2})$.

2. (2024·达州)如图,抛物线$y= ax^{2}+bx-3$与x轴交于点$A(-3,0)和点B(1,0)$,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.
(1)点C的坐标是$(0,-3)$,此抛物线的解析式是$y=x^{2}+2x-3$;
(2)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点,是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由.

解:存在,理由:设点$N(-1,m)$,由点A,C,N的坐标得,$AC^{2}=18$,$AN^{2}=4+m^{2}$,$CN^{2}=1+(m+3)^{2}$.当$AC=AN$时,则$18=4+m^{2}$.解得$m=\pm \sqrt{14}$.则点$N(-1,\pm \sqrt{14})$.当$AC=CN$或$AN=CN$时,则$18=1+(m+3)^{2}$或$4+m^{2}=1+(m+3)^{2}$.解得$m=-3+\sqrt{17}$或$-1$(不合题意的值已舍去),则点$N(-1,-1)$或$(-1,-3+\sqrt{17})$.综上所述，点N的坐标是$(-1,\pm \sqrt{14})$或$(-1,-1)$或$(-1,-3+\sqrt{17})$.

答案：
(1)$(0,-3)$ $y=x^{2}+2x-3$
(2)解:存在,理由:设点$N(-1,m)$,由点A,C,N的坐标得,$AC^{2}=18$,$AN^{2}=4+m^{2}$,$CN^{2}=1+(m+3)^{2}$.当$AC=AN$时,则$18=4+m^{2}$.解得$m=\pm \sqrt{14}$.则点$N(-1,\pm \sqrt{14})$.当$AC=CN$或$AN=CN$时,则$18=1+(m+3)^{2}$或$4+m^{2}=1+(m+3)^{2}$.解得$m=-3+\sqrt{17}$或$-1$(不合题意的值已舍去),则点$N(-1,-1)$或$(-1,-3+\sqrt{17})$.综上所述，点N的坐标是$(-1,\pm \sqrt{14})$或$(-1,-1)$或$(-1,-3+\sqrt{17})$.