《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

【例1】已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(k+2)x+2k= 0$.
(1)若方程有一个根是1,则$k$的值是1;
(2)当$k= -1$时,用求根公式法解方程;解:当k=-1时,原方程为$x^{2}-x-2=0$.a=1,b=-1,c=-2,$\therefore\Delta=(-1)^{2}-4×1×(-2)=9$.$\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2}$.$\therefore x_{1}=2,x_{2}=-1$
(3)求证:无论$k$取任何实数值,方程总有两个实数根;证明:在$x^{2}-(k+2)x+2k=0$中,$\because a=1,b=-(k+2),c=2k$,$\therefore\Delta=[-(k+2)]^{2}-4×1×2k=k^{2}-4k+4=(k-2)^{2}\geq0$.$\therefore$方程总有两个实数根
(4)若$x_{1},x_{2}$是此方程的两个根,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 13$,求$k$的值.解:$\because x_{1}+x_{2}=k+2,x_{1}x_{2}=2k$,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=13$,$\therefore(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=13$.$\therefore(k+2)^{2}-4k=13$.解得k=±3

答案：
(1)1 解:
(2)当k=-1时,原方程为$x^{2}-x-2=0$.a=1,b=-1,c=-2,$\therefore\Delta=(-1)^{2}-4×1×(-2)=9$.$\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2}$.$\therefore x_{1}=2,x_{2}=-1$;
(3)证明:在$x^{2}-(k+2)x+2k=0$中,$\because a=1,b=-(k+2),c=2k$,$\therefore\Delta=[-(k+2)]^{2}-4×1×2k=k^{2}-4k+4=(k-2)^{2}\geq0$.$\therefore$方程总有两个实数根;
(4)解:$\because x_{1}+x_{2}=k+2,x_{1}x_{2}=2k$,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=13$,$\therefore(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=13$.$\therefore(k+2)^{2}-4k=13$.解得k=±3.

【例2】(2024·淄博)“我运动,我健康,我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多,从2021年的32万人增加到2023年的50万人.
(1)该市参加健身运动人数的年均增长率是25%;
(2)为支持市民的健身运动,市政府决定从$A$公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买不超过100套,每套售价1600元;若超过100套,每增加10套,售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元,求购买的这种健身器材的套数.
解:设购买的这种健身器材的套数为m套,由题意,得$m\left(1600-\frac{m-100}{10}×40\right)=240000$.解得$m_{1}=200,m_{2}=300$(不符合题意,舍去).答:购买的这种健身器材的套数为200套.

答案：
(1)25% 解:
(2)设购买的这种健身器材的套数为m套,由题意,得$m\left(1600-\frac{m-100}{10}×40\right)=240000$.解得$m_{1}=200,m_{2}=300$(不符合题意,舍去).答:购买的这种健身器材的套数为200套.

1. 关于$x的一元二次方程3x^{2}-5x= 7$的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、-5、-7.

答案： 3、-5、-7

2. 已知$n是一元二次方程x^{2}-5x-3= 0$的一个根,则$n^{2}-5n+2021$的值为2024.

答案： 2024

3. (2024·贵州)一元二次方程$x^{2}-2x= 0$的解是(B)
A.$x_{1}= 3,x_{2}= 1$
B.$x_{1}= 2,x_{2}= 0$
C.$x_{1}= 3,x_{2}= -2$
D.$x_{1}= -2,x_{2}= -1$

答案： B

4. (2024·东营)用配方法解一元二次方程$x^{2}-2x-2023= 0$,将它转化为$(x+a)^{2}= b$的形式,则$a^{b}$的值为1.

答案： 1

5. 按要求解下列方程:
(1)$(2x+1)^{2}-1= 8$;(用直接开平方法)
(2)$(x-3)(x+7)= -9$;(用配方法)
(3)$x(x+2)= 3x+6$.(用因式分解法)

答案：
(1)解:原方程移项,得$(2x+1)^{2}=9$.$\therefore2x+1=\pm3$.$x_{1}=-2,x_{2}=1$.
(2)解:方程化简,得$x^{2}+4x=12$.$x^{2}+4x+4=12+4$.(x+2)$^{2}=16$.$\therefore x+2=\pm4$.$\therefore x_{1}=-6,x_{2}=2$.
(3)解:$x(x+2)-3(x+2)=0$.(x+2)(x-3)=0.x+2=0或x-3=0.$\therefore x_{1}=-2,x_{2}=3$.