《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

【例】已知点A(-1,y_{1}),B(4,y_{2})在y = -x^{2}+2x + c的图象上,比较y_{1}和y_{2}的大小。
解：方法1(代入比较法)：当x = -1时,y_{1} = -(-1)^{2}+2×(-1)+c = c - 3,
当x = 4时,y_{2} = -4^{2}+2×4+c = c - 8。
$\therefore y_{1}$＞y_{2}。
方法2(增减性比较法)：当点在对称轴同侧时,直接利用二次函数的增减性比较；当点位于对称轴异侧时,先利用对称性转化到对称同侧,再比较。
$\because$抛物线的对称轴为直线x = 1$,\therefore$点A(-1,y_{1})关于对称轴的对称点A'的坐标是(3,{y}_{1})。$\because a = -1$＜0,开口向下$,\therefore$在对称轴右侧y随x的增大而减小。又$\because 3$＜$4,\therefore y_{1}$＞y_{2}。方法3(点到对称轴的距离比较法)：$\because$抛物线开口向下,对称轴为直线x = 1$,\therefore$抛物线上的点到对称轴的距离越大,对应的函数值就越小。又$\because$点A(-1,y_{1})到对称轴的距离比点B(4,y_{2})到对称轴的距离小(填“大”或“小$”),\therefore y_{1}$＞y_{2}。【针对练习】1. 已知抛物线y = -x^{2}+4x + c过点A(-1,y_{1}),B(2,y_{2}),C(3,y_{3}),则y_{1},y_{2},y_{3}的大小关系是y_{1}＜y_{3}＜y_{2}。2. 已知抛物线y = x^{2}-2ax + c(a ＞ 0)过点A(a - 1,b),B(a + 2,c),则b与c的大小关系是c＞b。

答案： 【例】方法1:(-1) c - 3 4 c - 8 ＞ 方法2:1 y₁ ＜ 下 减小 ＜ ＞ 方法3:下 1 小 小 ＞ 1.y₁ ＜ y₃ ＜ y₂ 2.c ＞ b

【例】(2025·兰州模拟)一次函数$y = ax + b(a\neq0)$与二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是(C)

(答题模板)A答案：直线呈上升趋势,则$a$＞$0$,与$y$轴交于正半轴,则$b$＞$0$；
抛物线开口向下,则$a$＜$0$,对称轴在$y$轴左侧,则$a与b$同号(填“同”或“异”),故$b$＜$0$,$\therefore$A错误(填“正确”或“错误”)。用类似的方法判断可得C正确。
【针对练习】

1. (2025·衡水模拟)二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示,则一次函数$y = -ax + b$的图象可能是(D)

2. 在同一平面直角坐标系中,二次函数$y = ax^{2}$与一次函数$y = bx + c$的图象如图所示,则二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象可能是(D)

答案： 【例】C ＞ ＞ ＜ 同 ＜ 错误 C 1.D 2.D