《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

6. (2024·龙东地区)关于$x的一元二次方程(m-2)x^{2}+4x+2= 0$有两个实数根,则$m$的取值范围是(D)
A.$m\leqslant 4$
B.$m\geqslant 4$
C.$m\geqslant -4且m\neq 2$
D.$m\leqslant 4且m\neq 2$

答案： D

7. (2024·日照)若关于$x的一元二次方程kx^{2}+2kx+1= 0(k\neq 0)两根为x_{1},x_{2}(x_{1}\neq x_{2})$,且$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= 2$,则$k$的值为(B)
A.1
B.-1
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： B

8. (2024·烟台)若一元二次方程$2x^{2}-4x-1= 0的两根为m,n$,则$3m^{2}-4m+n^{2}$的值为6.

答案： 6

9. 【新中考·结论开放】请写出一个常数$c$的值,使得关于$x的方程x^{2}+2x+c= 0$没有实数根,则$c$的值可以是2(答案不唯一).

答案： 2(答案不唯一)

10. 若关于$x的一元二次方程x^{2}+2x+m-1= 0$有两个不相等的实数根.
(1)则实数$m$的取值范围是$m＜2$;
(2)若$m$为满足条件的最大整数,求此时方程的根.
解:$\because m$为满足条件的最大整数,$m＜2$,$\therefore m=1$,$\therefore$原方程为:$x^{2}+2x=0$,$x(x+2)=0$,$\therefore x_{1}=0,x_{2}=-2$.

答案：
(1)$m＜2$ 解:
(2)$\because m$为满足条件的最大整数,$m＜2$,$\therefore m=1$,$\therefore$原方程为:$x^{2}+2x=0$,$x(x+2)=0$,$\therefore x_{1}=0,x_{2}=-2$.

11. 【新情境·生态建设】(2024·内江)某市2021年底森林覆盖率为$64\%$,为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力发展植树造林活动,2023年底森林覆盖率已达到$69\%$.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为$x$,则可列方程为$0.64(1+x)^{2}=0.69$.

答案： $0.64(1+x)^{2}=0.69$

12. (2024·通辽)如图,小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍,其面积为15m^2,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门(由其它材料制成),则$BC$长为5m.

答案： 5

13. 庆“元旦”,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),共进行了45场比赛,这次有10队参加比赛.

答案： 10

14. 【新中考·跨语文学科】《念奴娇·赤壁怀古》,在苏轼笔下,周瑜年少有为,文采风流,雄姿英发,谈笑间,樯橹灰飞烟灭,然天妒英才,英年早逝,欣赏下面改编的诗歌,“大江东去浪淘尽,千古风流数人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿符.”则这位风流人物去世的年龄为36岁.

答案： 36

15. 【新中考·新定义型阅读理解题】
定义:设$m,n是方程ax^{2}+bx+c= 0(a\neq 0)$的两个实数根,若满足$|m+n|= |mn|$,则称此类方程为“同步方程”.例如,方程$x^{2}-4x+4= 0$是“同步方程”.
(1)下列方程是“同步方程”的是____(填序号);
①②
①$x^{2}= 0$;②$x^{2}-x-1= 0$;③$x(x-3)= 0$.
(2)若方程$x^{2}-(a+3)x+3a= 0$是“同步方程”,求$a$的值;
解:$\because x^{2}-(a+3)x+3a=0$是“同步方程”,$\therefore x_{1}+x_{2}=a+3,x_{1}x_{2}=3a$,$\therefore|a+3|=|3a|$.$\therefore$当$a+3=3a$时,$a=\frac{3}{2}$.$\therefore$当$a+3=-3a$时,$a=-\frac{3}{4}$.故$a=\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$
(3)若方程$2x^{2}+bx+3c= 0$为“同步方程”,求$b,c$满足的数量关系.
解:$\because 2x^{2}+bx+3c=0$为“同步方程”,$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{2}$,$x_{1}x_{2}=\frac{3c}{2}$.$\therefore\left|-\frac{b}{2}\right|=\left|\frac{3c}{2}\right|$,$\therefore$解得$b=\pm3c$

答案：
(1)①② 解:
(2)$\because x^{2}-(a+3)x+3a=0$是“同步方程”,$\therefore x_{1}+x_{2}=a+3,x_{1}x_{2}=3a$,$\therefore|a+3|=|3a|$.$\therefore$当$a+3=3a$时,$a=\frac{3}{2}$.$\therefore$当$a+3=-3a$时,$a=-\frac{3}{4}$.故$a=\frac{3}{2}$或$-\frac{3}{4}$;
(3)$\because 2x^{2}+bx+3c=0$为“同步方程”,$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{2}$,$x_{1}x_{2}=\frac{3c}{2}$.$\therefore\left|-\frac{b}{2}\right|=\left|\frac{3c}{2}\right|$,$\therefore$解得$b=\pm3c$.