《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

6. 顶点坐标是$(-1,0)$,且开口方向和形状与抛物线$y= -3x^{2}$相同的抛物线的解析式是$y = -3(x + 1)²$。

答案： y = -3(x + 1)²

7. 已知二次函数$y= 3(x-h)^{2}$,当$x＞1$时,$y随x$的增大而增大,则$h$的取值范围是h ≤ 1。

答案： h ≤ 1

8.(中考·南充)若点$P(m,n)在抛物线y= ax^{2}$($a≠0$)上,则下列各点在抛物线$y= a(x+1)^{2}$上的是(D)
A.$(m,n+1)$
B.$(m+1,n)$
C.$(m,n-1)$
D.$(m-1,n)$

答案： D

9. 已知点$A(-3,y_{1})$,$B(-2,y_{2})和C(4,y_{3})都在二次函数y= a(x+1)^{2}$($a＜0$)的图象上,则(B)
A.$y_{1}＞y_{2}＞y_{3}$
B.$y_{2}＞y_{1}＞y_{3}$
C.$y_{2}＞y_{3}＞y_{1}$
D.$y_{3}＞y_{1}＞y_{2}$

答案： B

10. 已知抛物线$y= -\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})^{2}$经过点P(m,n)和Q(m+3,n)两点,则$n$的值是(A)
A.$-\frac{9}{8}$
B.$\frac{9}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$-\frac{1}{4}$

答案： A

11. 已知$P(m,a)是抛物线y= a(x-1)^{2}$上的点,且点$P$在第一象限内。
(1)求抛物线的顶点坐标和$m$的值；
(2)判断：当$x$为何值时,$y随x$的增大而减小？
(3)过点$P作PQ// x轴交抛物线y= a(x-1)^{2}于点Q$,若$a$的值为3,试求$\triangle PQO$的面积。

答案： 解:
(1)依题意,得a(m - 1)² = a,
∵a ≠ 0,
∴(m - 1)² = 1.
∴m - 1 = ±1.
∴m = 2或m = 0.
∵P(m,a)在第一象限内,
∴m ＞ 0.
∴m = 2,抛物线的顶点为(1,0);
(2)
∵a ＞ 0,
∴当x ＜ 1时,y随x的增大而减小;
(3)由
(1)知m = 2,而a = 3,
∴P(2,3).
∴抛物线为y = 3(x - 1)².
∵PQ//x轴交抛物线于点Q,
∴点Q与点P关于直线x = 1对称,
∴Q(0,3).
∴PQ = 2.
∴S△PQO = 1/2 PQ·QO = 1/2 × 2 × 3 = 3.

12.【教材P41习题T7变式】已知二次函数$y= \frac{1}{3}(x-h)^{2}$,当自变量$x的值满足3\leq x\leq5$时,与其对应的函数值$y$的最小值为3,求常数$h$的值。

答案： 解:
∵y = 1/3(x - h)²,
∴该函数图象开口向上,对称轴是直线x = h,当x = h时,该函数取最小值0.
∵当自变量x的值满足3 ≤ x ≤ 5时,与其对应的函数值y的最小值为3,
∴①若h ＜ 3,则当x = 3时,y取最小值3,即1/3(3 - h)² = 3.解得h₁ = 6(不合题意,舍去),h₂ = 0;②若3 ≤ h ≤ 5,则当x = h时,y取最小值0,与题设矛盾,故该种情况不存在;③若5 ＜ h,则当x = 5时,y取最小值3,即1/3(5 - h)² = 3.解得h₃ = 2(不合题意,舍去),h₄ = 8.综上所述,h的值是0或8.