《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

5. 如图,点A在数轴的负半轴上,点B在数轴的正半轴上,且点A对应的数是$2x-1$,点B对应的数是$x^{2}+x$.已知$AB= 5$,则x的值为$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$.

答案： $\frac{1-\sqrt{17}}{2}$

6. 【教材P12练习T1变式】用公式法解下列方程：
(1)$y^{2}+10= 2\sqrt {5}y$；
(2)$3x^{2}+5(2x+1)= 0$.

答案： 6.
(1)解：原方程变形为$y^{2}-2\sqrt{5}y+10=0$.$\because a=1,b=-2\sqrt{5},c=10,\Delta =b^{2}-4ac=(-2\sqrt{5})^{2}-4× 1× 10=-20＜0$.$\therefore$此方程无实数根.
(2)解：原方程变形为$3x^{2}+10x+5=0$.$\because a=3,b=10,c=5,\therefore \Delta =b^{2}-4ac=10^{2}-4× 3× 5=40＞0$.$\therefore x=\frac{-10\pm \sqrt{40}}{2× 3}=\frac{-5\pm \sqrt{10}}{3}$.$\therefore x_{1}=\frac{-5+\sqrt{10}}{3},x_{2}=\frac{-5-\sqrt{10}}{3}$.

7. 【教材P18“阅读与思考”变式】如图,线段$AB= 1$,在线段AB上找一点C,C把线段AB分为AC和BC两部分,其中$AC＜BC$.若$\frac {AC}{BC}= \frac {BC}{AB}$,则点C就叫做线段AB的黄金分割点,其中$\frac {AC}{BC}$(或$\frac {CB}{AB}$)的值叫做黄金分割数,求黄金分割数.

答案： 7.解：设$BC=x$,则$AC=1-x$,$\because \frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}$,$\therefore BC^{2}=AC\cdot AB$.即$x^{2}=1-x$.解得$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(舍去).$\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.答：黄金分割数是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

03 素养练
8. (教材P17习题T13改编)
已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(3k+1)x+2k^{2}+2k= 0$.
(1)求证：无论k取任何实数值,方程总有实数根；
(2)【分类讨论思想】若等腰$\triangle ABC$的一边长为6,另两边长恰好是这个方程的两个根,求$\triangle ABC$的周长.

答案： 8.
(1)证明：$\because \Delta =b^{2}-4ac=[-(3k+1)]^{2}-4× 1× (2k^{2}+2k)=k^{2}-2k+1=(k-1)^{2}\geqslant 0$,$\therefore$无论$k$为何值，方程总有实数根；
(2)解：由
(1)知$x=\frac{3k+1\pm \sqrt{(k-1)^{2}}}{2}=\frac{3k+1\pm (k-1)}{2}$.$\therefore x_{1}=2k,x_{2}=k+1$.$\because \triangle ABC$是等腰三角形，$\therefore$由题意可知分三种情况：①当$2k=6$时，三边是6,6,4，此时周长是16；②当$2k=k+1$时，三边是6,2,2，不能构成三角形；③当$k+1=6$时，三边是6,6,10，此时周长是22.$\therefore$综上所述，$\triangle ABC$的周长是16或22.