《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

2. (2024·凉山州改编)如图,抛物线$y= -x^{2}+bx+c与直线y= x+2相交于A(-2,0),B(3,m)$两点,与x 轴相交于另一点 C.
(1)求抛物线的解析式;

(2)点 P 是抛物线上的一个动点(不与 A,B 重合),过点 P 作直线$PD⊥x$轴于点 D,交直线 AB 于点 E,当$PE= 2ED$时,求 P 点坐标;
(3)若 H 是线段 AB 上的一个动点,过点 H 作$HM// y$轴交抛物线于点 M,过点 M 作$MN// x$轴交抛物线于点 N,当$HM= \frac {1}{2}MN$时,求点 H 的横坐标.

答案： 2.解:
(1)把$B(3,m)$代入$y = x + 2$得$m = 3 + 2 = 5$。
∴$B(3,5)$。把$A(-2,0)$，$B(3,5)$代入$y = -x^{2} + bx + c$，得$\begin{cases}-4 - 2b + c = 0 \\ -9 + 3b + c = 5\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2 \\ c = 8\end{cases}$，
∴抛物线的解析式为$y = -x^{2} + 2x + 8$。
(2)解:设$P(t,-t^{2} + 2t + 8)$，则$E(t,t + 2)$，$D(t,0)$，
∵$PE = 2DE$，
∴$|-t^{2} + 2t + 8 - (t + 2)| = 2|t + 2|$。解得$t = 1$或$-2$或$5$。
∵$A(-2,0)$，
∴$t = 1$或$5$。
∴$P$的坐标为$(1,9)$或$(5,-7)$。
(3)解:设$H(a,a + 2)$，
∵$HM// y$轴，
∴$M(a,-a^{2} + 2a + 8)$，
∴$MH = -a^{2} + 2a + 8 - (a + 2) = -a^{2} + a + 6$。
∵对称轴为直线$x = 1$，$MN// x$轴，
∴$MN = 2(1 - a) = 2 - 2a$，
∵$HM = \frac{1}{2}MN$，
∴$-a^{2} + a + 6 = (2 - 2a)\cdot\frac{1}{2}$，解得$a = 1\pm\sqrt{6}$。
∵$-2\lt a\lt3$，
∴$a = 1 - \sqrt{6}$，
∴点$H$的横坐标为$1 - \sqrt{6}$。