《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

【例】已知抛物线$y = x^{2}-2x - 3与x轴交于A$,$B$两点(点$A在点B$的左侧),与$y轴交于点C$,点$D(4,y)$在抛物线上,$E$是该抛物线对称轴上一动点,求当$BE + DE的值最小时点E$的坐标.

答案： 解:令$y=x^{2}-2x-3=0$,则$x_{1}=-1$,$x_{2}=3$.
∵A点在B点左侧,
∴A(-1,0),B(3,0).
∵D(4,y)在抛物线上,
∴$y=4^{2}-2×4-3=5$.
∴D(4,5).
∵点B与点A关于对称轴直线$x=1$对称,
∴连接AD交对称轴于点E,点E即为使$BE+DE$最小的点,设直线AD的解析式为$y=kx+b$,把A(-1,0),D(4,5)代入,得$\left\{\begin{array}{l} -k+b=0\\ 4k+b=5\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=1\\ b=1\end{array}\right. $.
∴$y=x+1$.当$x=1$时,$y=2$,
∴点E的坐标是(1,2).

1.(2024·甘南州节选)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y = ax^{2}+bx - 5(a\neq0)交x轴于A$,$C$两点,交$y轴于点B$,$5OA = OB = OC$.
(1)则抛物线的解析式是______;
(2)在对称轴上找一点$M$,使$\triangle ABM$的周长最小,求点$M$的坐标.

(1)$y=x^{2}+4x-5$
(2)解:由题意知B(0,-5),
∴$OC=5=OB=5OA$.
∴$OA=1$.
∴C(-5,0),A(1,0).
∵点A与点C关于对称轴直线$x=-2$对称,
∴直线BC与直线$x=-2$的交点即为使$\triangle ABM$周长最小的点.设直线BC的解析式为$y=kx+c$,将B(0,-5),C(-5,0)代入,得$\left\{\begin{array}{l} c=-5\\ -5k+c=0\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-1\\ c=-5\end{array}\right. $.
∴直线BC的解析式为$y=-x-5$.
∴当$x=-2$时,$y=-x-5=-(-2)-5=-3$.
∴点M的坐标是(-2,-3).

答案： 1.
(1)$y=x^{2}+4x-5$ 解:
(2)由题意知B(0,-5),
∴$OC=5=OB=5OA$.
∴$OA=1$.
∴C(-5,0),A(1,0).
∵点A与点C关于对称轴直线$x=-2$对称,
∴直线BC与直线$x=-2$的交点即为使$\triangle ABM$周长最小的点.设直线BC的解析式为$y=kx+c$,将B(0,-5),C(-5,0)代入,得$\left\{\begin{array}{l} c=-5\\ -5k+c=0\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-1\\ c=-5\end{array}\right. $.
∴直线BC的解析式为$y=-x-5$.
∴当$x=-2$时,$y=-x-5=-(-2)-5=-3$.
∴点M的坐标是(-2,-3).

2.(2024·西藏改编)如图,抛物线$y = ax^{2}+bx + 3(a\neq0)与x轴交于点A(-1,0)$,$B(3,0)$,且与$y轴交于点C$,设抛物线的对称轴为直线$l$.
(1)此抛物线的解析式是______$y=-x^{2}+2x+3$;
(2)设点$C关于直线l的对称点是点D$,在直线$l上是否存在一点P$,使$PA - PD$有最大值?若存在,求点$P$的坐标;不存在,请说明理由.

直线l上存在点P,使$PA - PD$有最大值.
∵点C与点D关于直线l对称,
∴$PC = PD$.
∴$PA - PD = PA - PC$.故当点A,C,P共线时,$PA - PC$最大.连接AC并延长交直线l于点P,点P即为所求作的点.设直线AC的解析式为$y = kx + m$,把A(-1,0),C(0,3)代入,得$\left\{\begin{array}{l} -k + m = 0\\ m = 3\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k = 3\\ m = 3\end{array}\right. $.
∴直线AC的解析式为$y = 3x + 3$.
∵对称轴为直线$x = 1$,
∴当$x = 1$时,$y = 3x + 3 = 6$.
∴点P的坐标是(1,6).

答案： 2.
(1)$y=-x^{2}+2x+3$ 解:
(2)直线l上存在点P,使$PA - PD$有最大值.
∵点C与点D关于直线l对称,
∴$PC = PD$.
∴$PA - PD = PA - PC$.故当点A,C,P共线时,$PA - PC$最大.连接AC并延长交直线l于点P,点P即为所求作的点.设直线AC的解析式为$y = kx + m$,把A(-1,0),C(0,3)代入,得$\left\{\begin{array}{l} -k + m = 0\\ m = 3\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k = 3\\ m = 3\end{array}\right. $.
∴直线AC的解析式为$y = 3x + 3$.
∵对称轴为直线$x = 1$,
∴当$x = 1$时,$y = 3x + 3 = 6$.
∴点P的坐标是(1,6).