《2025年名师学案九年级数学上册人教版》

1.【概念辨析】下列函数中,一定是二次函数的是(C)
A.$ y = 3 x - 1 $
B.$ y = a x ^ { 2 } + b x + c $
C.$ S = 2 t ^ { 2 } - 2 t + 1 $
D.$ y = x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x } $

答案： C

2.(1)若 $ y = ( a - 2 ) x ^ { 2 } + 3 x + 1 $ 是关于 $ x $ 的二次函数,则 $ a $ 的取值范围是(B)
A. $ a \neq 0 $
B. $ a \neq 2 $
C. $ a ＞ 2 $
D. $ a ＜ 2 $
(2)【T2(1)变式】若函数 $ y = 2 x ^ { 3 + n } - x $ 是二次函数,则 $ n $ 的值是-1。

答案：
(1)B
(2)-1

3. 二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 6 x - 7 $ 中,当 $ x = 1 $ 时,$ y $ 的值是-12；当 $ y = 0 $ 时,$ x $ 的值是7或-1。

答案： -12 7或-1

4.【概念辨析】判断下列函数是否为二次函数,若是二次函数,分别写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1) $ y=-4x^{2}+2x-3 $ 是，二次项系数-4，一次项系数2，常数项-3；
(2) $ y=-2x^{2}-7 $ 是，二次项系数-2，一次项系数0，常数项-7；
(3) $ y=x(x-1) $ 是，二次项系数1，一次项系数-1，常数项0；
(4) $ y=(x-3)^{2}-x^{2} $ 否，二次项系数/，一次项系数/，常数项/。

答案： 是 -4 2 -3 是 -2 0 -7 是 1 -1 0 否 / / /

5. 若函数 $ y = ( a + 1 ) x ^ { a ^ { 2 } - 2 a - 1 } + 2 x - 1 $ 是二次函数,则 $ a $ 的值是(A)
A.3
B.-1
C.3 或 -1
D.-3
【点拨】根据二次函数的定义可知 $ a ^ { 2 } - 2 a - 1 = 2 $ 且 $ a + 1 \neq 0 $,解方程和不等式得解。

答案： A

6.【教材 P28“问题 2”变式】国家决定对某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分率为 $ x $,该药品原价为 18 元,两次降价后的价格为 $ y $ 元,则 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为(B)
A.$ y = 18 ( 1 + x ) ^ { 2 } $
B.$ y = 18 ( 1 - x ) ^ { 2 } $
C.$ y = 18 + x ^ { 2 } $
D.$ y = 18 - x ^ { 2 } $

答案： B

7. 用 16 m 长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,设长方形生物园的长为 $ x $ m,面积为 $ S $ $ m ^ { 2 } $,则长方形生物园的宽是(8-x)m,根据长方形的面积公式可得 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式是S=-x²+8x。(不写自变量的取值范围)

答案： (8-x) S=-x²+8x

8.【教材 P28“问题 1”变式】某校九(1)班共有 $ x $ 名学生,在毕业典礼上每两名同学都握一次手,共握手 $ y $ 次,则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式是y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x,它是(填“是”或“不是”)二次函数。

答案： y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x 是

9.【教材 P29 练习 T2 变式】一块正方形草地的边长是 10 m,若将一边的长增加 $ x $ m($ x ＞ 0 $),另一边的长减少 $ x $ m,得到一个新矩形,设新矩形的面积为 $ y $ $ m ^ { 2 } $。
(1)写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(2)$ y $ 是 $ x $ 的二次函数吗？若是,请写出二次项系数与一次项系数。

答案： 解:
(1)y=(10+x)(10-x)=-x²+100;
(2)y 是 x 的二次函数,二次项系数是-1,一次项系数是 0.